Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} 6\left(\frac{9}{10}\right)^{n-1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}6\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^{n-1}
e, se convergente, calcular sua soma. Para isso, vamos usar o critério de convergência e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a e a razão r da série:
a = 6, \quad r = \frac{9}{10}.
Como \bigl|r\bigr| = \tfrac{9}{10} < 1, a série converge.

Passo 3

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{\,n-1} = \frac{a}{1-r}.
Substituindo a=6 e r=\tfrac{9}{10}, temos
\frac{6}{1 - \tfrac{9}{10}} = \frac{6}{\tfrac{1}{10}} = 60.

Resposta

A série é convergente e sua soma é 60.

Exercícios relacionados