Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
(c) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{12}{(-5)^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{12}{(-5)^{n}}
que é uma série geométrica. Para resolver, vamos:
  1. identificar o primeiro termo a e a razão r;
  2. verificar a condição de convergência \lvert r\rvert<1;
  3. se convergente, usar a fórmula da soma.

Passo 2

O primeiro termo corresponde a n=1:
a = \frac{12}{(-5)^{1}} = -\frac{12}{5}.
A razão vem do quociente entre termos consecutivos:
r = \frac{\tfrac{12}{(-5)^{n+1}}}{\tfrac{12}{(-5)^{n}}} = \frac{1}{-5} = -\tfrac{1}{5}.

Passo 3

A série geométrica \sum a\,r^{n-1} converge se e somente se \lvert r\rvert<1. Aqui
\lvert r\rvert = \Bigl\lvert -\tfrac{1}{5}\Bigr\rvert = \tfrac{1}{5}<1,
logo a série é convergente.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente com primeiro termo a e razão r é
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo
S = \frac{-\tfrac{12}{5}}{1 - \bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr)} = \frac{-\tfrac{12}{5}}{1 + \tfrac{1}{5}} = \frac{-\tfrac{12}{5}}{\tfrac{6}{5}} = -2.

Resposta

A série é convergente e sua soma vale -2.

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