Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
(e) \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{-\frac{n}{2}};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-\frac{n}{2}}
que é uma série geométrica de razão r=2^{-\frac12}. Vamos usar o critério de convergência e, se convergente, calcular a soma via fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Numa série geométrica infinita de primeira termos a e razão r, ou seja
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{\,n-1},
ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui podemos reescrever
2^{-\frac n2}=\bigl(2^{-\frac12}\bigr)^{n} =\bigl(2^{-\frac12}\bigr)\,\bigl(2^{-\frac12}\bigr)^{n-1},
logo a=2^{-\frac12} e r=2^{-\frac12}. Como
\lvert r\rvert =2^{-\frac12}=\frac1{\sqrt2}<1,
a série é convergente.

Passo 3

Para uma série geométrica de primeira termo a e razão r com \lvert r\rvert<1, a soma vale
S=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso a=2^{-\frac12} e r=2^{-\frac12}, então
S=\frac{2^{-\frac12}}{1-2^{-\frac12}}.

Passo 4

Basta simplificar a expressão:
S =\frac{\tfrac1{\sqrt2}}{1-\tfrac1{\sqrt2}} =\frac{\tfrac1{\sqrt2}}{\tfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2}} =\frac{1}{\sqrt2-1} =\sqrt2+1.

Resposta

A série é convergente e sua soma é \sqrt2+1.

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