Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(b) 1+\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}}+\frac{1}{4 \sqrt{4}}+\ldots;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
1 + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{4\sqrt{4}} + \cdots
usando o Teste da Integral. Reconhecemos que o termo geral é
a_n = \frac{1}{n\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}}.
Vamos aplicar o Teste da Integral ao equivalente contínuo f(x)=x^{-3/2} sobre [1,\infty).

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teste da Integral para
f(x) = x^{-3/2}.
  1. f(x)>0 para x\ge1.
  2. f é contínua em [1,\infty).
  3. f é decrescente para x\ge1, pois a derivada
f'(x) = -\tfrac{3}{2}x^{-5/2}
é negativa nesse intervalo.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-3/2}\,dx.
Fazendo a primitiva,
\int x^{-3/2}\,dx = \int x^{-1{,}5}\,dx = \frac{x^{-1/2}}{-\tfrac12} = -2\,x^{-1/2}.
Então, para t>1,
\int_{1}^{t} x^{-3/2}\,dx = \bigl[-2\,x^{-1/2}\bigr]_{1}^{t} = \bigl(-2\,t^{-1/2}\bigr) - \bigl(-2\cdot1^{-1/2}\bigr) = 2 - 2\,t^{-1/2}.

Passo 4

Agora deixamos t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}\bigl(2 - 2\,t^{-1/2}\bigr) = 2.
Como essa integral converge (o valor finito é 2), pelo Teste da Integral a série \sum_{n=1}^{\infty}n^{-3/2} também converge.

Resposta

A série é convergente.

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