Encontre a sequência \left\{s_{N}\right\}_{N=1}^{+\infty} das somas parciais da série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}. Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente, calcule a sua soma.
(f) a_{n}=(-1)^{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n com a_n = (-1)^n.
Precisamos achar a sequência de somas parciais
s_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n
e verificar se essa sequência converge (isto é, se a série é convergente).

Passo 2

Observe que os termos de \sum_{n=1}^N(-1)^n agrupam-se em pares
(-1)^n + (-1)^{n+1} = -1 + 1 = 0.
Logo, se N=2k (número par de termos), formam-se exatamente k pares, e
s_{2k} = \sum_{n=1}^{2k}(-1)^n = 0.

Passo 3

Se N=2k-1 (número ímpar de termos), há k-1 pares zerados mais um termo sobrando, que é
(-1)^{2k-1} = -1.
Assim,
s_{2k-1} = -1.

Passo 4

Portanto a sequência de somas parciais é
s_1 = -1,\;s_2 = 0,\;s_3 = -1,\;s_4 = 0,\;\dots
ela oscila entre -1 e 0 e não converge para um único valor. Logo a série diverge e não possui soma no sentido usual.

Resposta

s_N = \begin{cases} 0, & \text{se \(N\) é par},\\ -1,& \text{se \(N\) é ímpar}. \end{cases}ééí
A série \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n diverge (não há soma).

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