Encontre a sequência \left\{s_{N}\right\}_{N=1}^{+\infty} das somas parciais da série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}. Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente, calcule a sua soma.
(e) a_{n}=n;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a sequência das somas parciais \{s_{N}\}_{N=1}^{+\infty}
da série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}
quando a_{n}=n, e depois verificar se essa série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma.

Passo 2

Para cada N\in\mathbb{N}, a soma parcial é
s_{N} \;=\;\sum_{n=1}^{N}n.
Reconhecemos que isso é a soma dos N primeiros naturais. Usamos a fórmula clássica
s_{N} \;=\; \frac{N(N+1)}{2}.

Passo 3

Agora analisamos a convergência:
\lim_{N\to\infty}s_{N} =\lim_{N\to\infty}\frac{N(N+1)}{2} =\infty.
Como o limite das somas parciais diverge para infinito, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n
é divergente e não possui soma finita.

Resposta

A sequência das somas parciais é
s_{N} = \frac{N(N+1)}{2},
e a série diverge (não converge a nenhum valor finito).

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