Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(c)
;
(c)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
,
que pode ser reescrita como .
Vamos aplicar o Teste da Integral, comparando-a à integral imprópria de uma função positiva e decrescente que tenha o mesmo comportamento do termo geral.
que pode ser reescrita como
Vamos aplicar o Teste da Integral, comparando-a à integral imprópria de uma função positiva e decrescente que tenha o mesmo comportamento do termo geral.
Passo 2
Definimos a função
Para
temos
, logo
. Calculando a derivada,
o que mostra que
é decrescente em
. Portanto, estão satisfeitas as condições do Teste da Integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Uma primitiva é
Logo, para
,
Ao fazer
,
, de modo que a integral diverge.
Pelo Teste da Integral, como a integral associada diverge, concluímos que a série também diverge.
Resposta
A série é divergente.