Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(c) \frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\frac{1}{14}+\ldots;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5+3(n-1)},
que pode ser reescrita como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+2}.
Vamos aplicar o Teste da Integral, comparando-a à integral imprópria de uma função positiva e decrescente que tenha o mesmo comportamento do termo geral.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{3x+2}.
Para x\ge1 temos 3x+2>0, logo f(x)>0. Calculando a derivada,
f'(x)=-\frac{3}{(3x+2)^2}<0,
o que mostra que f é decrescente em [1,\infty). Portanto, estão satisfeitas as condições do Teste da Integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x+2}\,dx.
Uma primitiva é
\int \frac{1}{3x+2}\,dx = \frac{1}{3}\ln(3x+2).
Logo, para b>1,
\int_{1}^{b}\frac{1}{3x+2}\,dx = \frac{1}{3}\bigl[\ln(3b+2)-\ln5\bigr].
Ao fazer b\to\infty, \ln(3b+2)\to\infty, de modo que a integral diverge.
Pelo Teste da Integral, como a integral associada diverge, concluímos que a série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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