Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k :
f(x, y)=3 x-2 y ; k=-4 ; 0 ; 6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
f(x,y)=3x-2y
para os valores de k=-4, k=0 e k=6. O conteúdo aqui é interpretação de curvas de nível (contour lines) de uma função de duas variáveis, que no caso são retas definidas pela equação f(x,y)=k.

Passo 2

Para cada valor de k a curva de nível é dada por
3x - 2y = k
Isolando y em função de x, obtemos a forma de reta em declive-intercepto:
y = 32x - k2

Passo 3

No caso k=-4, substituímos na expressão geral:
y = 32x - -42 Longrightarrow y = 32x + 2
Interceptos: em x=0 y=2; em y=0 x=-tfrac43.

Passo 4

No caso k=0, temos
y = 32x - 02 Longrightarrow y = 32x
Interceptos: em x=0 y=0; em y=0 x=0. É a reta passando pela origem com declive tfrac32.

Passo 5

No caso k=6, temos
y = 32x - 62 Longrightarrow y = 32x - 3
Interceptos: em x=0 y=-3; em y=0 x=2.

Passo 6

Todas as três curvas de nível são retas paralelas de declive tfrac32. Basta desenhar num mesmo sistema de eixos:
  • A reta y=tfrac32x+2 (para k=-4),
  • A reta y=tfrac32x (para k=0),
  • A reta y=tfrac32x-3 (para k=6).

Resposta

As curvas de nível são as retas
3x - 2y = -4, 3x - 2y = 0, 3x - 2y = 6,
ou equivalentemente
y = tfrac32x + 2, y = tfrac32x, y = tfrac32x - 3,
todas paralelas com declive tfrac32.

Exercícios relacionados