Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva polar
primeiro traçando o gráfico de
em função de
em coordenadas cartesianas e depois converter esse traçado em curvas polares. O conteúdo envolve análise de funções trigonométricas (amplitude, zeros e período) e interpretação de
em sistema polar.
Passo 2
Determinamos os pontos chave de
– Zeros:
para
.
– Extremos máximos ( ):
– Extremos máximos (
– Extremos mínimos (
):
– Período: como
tem período
em
, o período em
é
Passo 3
Esboce em papel o gráfico de
versus
:
– É uma cossenoide de amplitude , variando entre
e
.
– Tem período .
– Passa por , cruza o eixo
em
, atinge
em
e retorna a
em
.
– É uma cossenoide de amplitude
– Tem período
– Passa por
Passo 4
Cada trecho de
entre duas raízes consecutivas (comprimento
) corresponde a uma “pétala” no plano polar:
– Se , a pétala se desenha no ângulo
(raio apontando na direção
).
– Se , o raio vira para
, gerando pétala invertida.
Como num único período de há duas raízes e dois extremos (um positivo e um negativo), em cada período surgem duas pétalas. Em
completam-se
– Se
– Se
Como num único período de
períodos, cada um com
pétalas, totalizando
pétalas.
Passo 5
No esboço polar final temos uma rosa de
pétalas idênticas, cada pétala de comprimento máximo
, igualmente espaçadas de ângulo
(ou
). A pétala principal está centrada em
, e as demais em
.
Resposta
O gráfico de
versus
é uma cossenoide de amplitude
e período
, cruzando o eixo
em
.
A curva polar é uma rosa de pétalas de raio
, igualmente espaçadas de
.
A curva polar é uma rosa de