Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
r=3 cos 6 theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva polar
r = 3cos(6theta)
primeiro traçando o gráfico de r em função de theta em coordenadas cartesianas e depois converter esse traçado em curvas polares. O conteúdo envolve análise de funções trigonométricas (amplitude, zeros e período) e interpretação de r(theta) em sistema polar.

Passo 2

Determinamos os pontos chave de
r(theta)=3cos(6theta)
– Zeros: cos(6theta)=0 Rightarrow
6theta = pi2+kpi Longrightarrow theta = pi12 + kpi6,
para kinZ.
– Extremos máximos ( r=3): cos(6theta)=1 Rightarrow
6theta=2pi k Longrightarrow theta = kpi3
– Extremos mínimos ( r=-3): cos(6theta)=-1 Rightarrow
6theta=pi+2pi k Longrightarrow theta = pi6 + kpi3
– Período: como cos(6theta) tem período 2pi em 6theta, o período em theta é
T = 2pi6 = pi3

Passo 3

Esboce em papel o gráfico de r versus theta:
– É uma cossenoide de amplitude 3, variando entre -3 e 3.
– Tem período pi/3.
– Passa por (theta,r)=(0,3), cruza o eixo r=0 em theta=pi/12,pi/4,dots, atinge -3 em theta=pi/6,pi/2,dots e retorna a 3 em theta=pi/3.

Passo 4

Cada trecho de theta entre duas raízes consecutivas (comprimento pi/12) corresponde a uma “pétala” no plano polar:
– Se r>0, a pétala se desenha no ângulo theta (raio apontando na direção theta).
– Se r<0, o raio vira para theta+pi, gerando pétala invertida.
Como num único período de pi/3 há duas raízes e dois extremos (um positivo e um negativo), em cada período surgem duas pétalas. Em 2pi completam-se
2pipi/3=6
períodos, cada um com 2 pétalas, totalizando 12 pétalas.

Passo 5

No esboço polar final temos uma rosa de 12 pétalas idênticas, cada pétala de comprimento máximo 3, igualmente espaçadas de ângulo pi/6 (ou 30^circ). A pétala principal está centrada em theta=0, e as demais em theta=pmpi/6,pm2pi/6,dots.

Resposta

O gráfico de r versus theta é uma cossenoide de amplitude 3 e período pi/3, cruzando o eixo r=0 em theta=pi12+kpi6.
A curva polar é uma rosa de 12 pétalas de raio 3, igualmente espaçadas de pi/6.

Exercícios relacionados