Determine a série de MacLaurin da função:
f(x)=-3(1+3 x)^2
Dica: use representações de séries conhecidas, derivadas e/ou integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a série de MacLaurin da função $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $. Isso está relacionado ao cálculo de séries de potências, especificamente usando séries conhecidas, derivadas ou integrais para encontrar a série que representa essa função perto de $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de MacLaurin. Ela é uma espécie de “expansão em série” de uma função em torno de $ x = 0 $. Ou seja, queremos escrever $ f(x) $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $:
x = 0
Onde $ a_n $ são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos observar a forma da função que temos: $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $. Isso se assemelha a uma função que já conhecemos a série de MacLaurin. Sabemos que:
f(x) = -3(1 + 3x)^2
Aqui, $ t $ é uma expressão que gostaríamos de identificar para usar essa fórmula.

Passo 4

Comparando as duas formas:
1(1 - t)^2 e 1(1 + 3x)^2
Podemos ver que $ t = -3x $. Então, substituindo $ t $ por $ -3x $ na fórmula conhecida, temos:
t = -3x

Passo 5

Agora, vamos incluir o coeficiente que temos na função original. A nossa função é $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $. Então, multiplicamos a série que encontramos por $ -3 $:
f(x) = -3(1 + 3x)^2

Passo 6

Podemos simplificar um pouco mais, distribuindo o $ -3 $ dentro da soma:
-3
Ou, reorganizando os termos:
f(x) = sumn=0^infty -3(n + 1) (-3x)^n

Resposta

Portanto, a série de MacLaurin da função $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $ é:
f(x) = -3(1 + 3x)^2

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