Determine a série de MacLaurin da função:
Dica: use representações de séries conhecidas, derivadas e/ou integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a série de MacLaurin da função $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $. Isso está relacionado ao cálculo de séries de potências, especificamente usando séries conhecidas, derivadas ou integrais para encontrar a série que representa essa função perto de $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de MacLaurin. Ela é uma espécie de “expansão em série” de uma função em torno de $ x = 0 $. Ou seja, queremos escrever $ f(x) $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $:
Onde $ a_n $ são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos observar a forma da função que temos: $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $. Isso se assemelha a uma função que já conhecemos a série de MacLaurin. Sabemos que:
Aqui, $ t $ é uma expressão que gostaríamos de identificar para usar essa fórmula.
Passo 4
Comparando as duas formas:
Podemos ver que $ t = -3x $. Então, substituindo $ t $ por $ -3x $ na fórmula conhecida, temos:
Passo 5
Agora, vamos incluir o coeficiente que temos na função original. A nossa função é $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $. Então, multiplicamos a série que encontramos por $ -3 $:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco mais, distribuindo o $ -3 $ dentro da soma:
Ou, reorganizando os termos:
Resposta
Portanto, a série de MacLaurin da função $ f(x) = \frac{-3}{(1 + 3x)^2} $ é: