Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (2 x-2)^nn 3^n

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (2x-2)^nn,3^n. O conteúdo principal é raio e intervalo de convergência de séries de potências, e vamos precisar usar o teste da razão para o raio e depois testar as extremidades para ver convergência condicional ou divergente.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a série num formato padrão de potência centrada em x0. Note que 2x-2=2(x-1). Então podemos definir u=2(x-1) e reescrever a soma como sumn=1^infty u^nn,3^n. Isso mostra claramente que o termo geral é an(u)=1nl(tfracu3r)^n.

Passo 3

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão em módulo a l|tfracu3r|^n. Observamos que a parte 1/n não afeta o limite principal e obtemos a condição
limntoinfty|u^n+1/(n+1),3^-(n+1)u^n/n,3^-n| =limntoinfty|u|3cdotnn+1 =|u|3<1

Passo 4

A desigualdade |u/3|<1 dá o intervalo de convergência absoluto em termos de u:
|u|<3

Passo 5

Substituindo u=2(x-1), temos
|2(x-1)|<3
que equivale a
|x-1|<32

Passo 6

Isso significa que a convergência absoluta ocorre para
-tfrac32 < x-1 < tfrac32
ou seja
-tfrac12 < x < tfrac52

Passo 7

Agora testamos as extremidades:
Para x=-tfrac12: temos 2x-2=2(-tfrac12)-2=-3, então a série vira
sumn=1^infty(-3)^nn,3^n= sumn=1^infty(-1)^nn, que é a série alternada de Taylor de -ln(2) e converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

Passo 8

Para x=tfrac52: temos 2x-2=3, então a série vira
sumn=1^infty3^nn,3^n= sumn=1^infty1n, que é a série harmônica e diverge.

Passo 9

Portanto, o intervalo de convergência, incluindo a convergência condicional em x=-tfrac12 e excluindo x=tfrac52, é
l[-tfrac12,,tfrac52r)

Resposta

O intervalo de convergência é l[-tfrac12,,tfrac52r).

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