Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que ajuda a comparar a nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
fica muito grande. Olhando para a expressão
, percebemos que
cresce muito mais rápido que
conforme
aumenta. Então, para facilitar, podemos dizer que
para grandes valores de
.
Passo 3
Com essa simplificação, a nossa série fica aproximadamente
. Essa é uma série geométrica da forma
, onde
e
.
Passo 4
Sabemos que uma série geométrica
converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja,
. No nosso caso,
, que é menor que 1, então a série geométrica converge.
Passo 5
Como a série
converge e os termos da nossa série original
são menores ou iguais a
para todo
(porque
), pelo Teste da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.