Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
sumn=1^infty 36^n+4 n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty 36^n + 4n converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que ajuda a comparar a nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando n fica muito grande. Olhando para a expressão 36^n + 4n, percebemos que 6^n cresce muito mais rápido que 4n conforme n aumenta. Então, para facilitar, podemos dizer que 6^n + 4n approx 6^n para grandes valores de n.

Passo 3

Com essa simplificação, a nossa série fica aproximadamente sumn=1^infty 36^n. Essa é uma série geométrica da forma sumn=1^infty ar^n, onde a = 3 e r = 16.

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. No nosso caso, r = 16, que é menor que 1, então a série geométrica converge.

Passo 5

Como a série sumn=1^infty 36^n converge e os termos da nossa série original 36^n + 4n são menores ou iguais a 36^n para todo n (porque 6^n + 4n > 6^n), pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 36^n + 4n converge.

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