Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série numérica:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um número finito) ou diverge (não soma a nada, vai para o infinito). Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo de séries, como o Teste da Comparação ou o Teste da Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para entender melhor o comportamento dos termos quando
fica muito grande. Olha só:
Quando
é bem grande, os termos
e
ficam quase desprezíveis comparados com
. Então, podemos aproximar:
Então, a nossa série fica aproximadamente:
Para simplificar ainda mais, quando
é muito grande,
é quase igual a
. Então:
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com uma série mais simples que conhecemos, para ver se ela converge ou diverge. A série
converge se
e diverge se
. No nosso caso, temos
, que é menor que 1.
Isso significa que a série
diverge.
Passo 4
Como nossa série original é aproximadamente igual a uma série que já sabemos que diverge, podemos concluir, usando o Teste da Comparação, que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.