Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
sumn=1^infty raiz[3]n^2+n+1n-3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série numérica:
sumn=1^infty raiz[3]n^2 + n + 1n - 3
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um número finito) ou diverge (não soma a nada, vai para o infinito). Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo de séries, como o Teste da Comparação ou o Teste da Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para entender melhor o comportamento dos termos quando n fica muito grande. Olha só:
raiz[3]n^2 + n + 1
Quando n é bem grande, os termos n e 1 ficam quase desprezíveis comparados com n^2 . Então, podemos aproximar:
raiz[3]n^2 + n + 1 approx raiz[3]n^2 = n^2/3
Então, a nossa série fica aproximadamente:
sumn=1^infty n^2/3n - 3
Para simplificar ainda mais, quando n é muito grande, n - 3 é quase igual a n . Então:
n^2/3n - 3 approx n^2/3n = n^-1/3

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com uma série mais simples que conhecemos, para ver se ela converge ou diverge. A série sumn=1^infty n^-p converge se p > 1 e diverge se p <= 1 . No nosso caso, temos p = 13 , que é menor que 1.
Isso significa que a série sumn=1^infty n^-1/3 diverge.

Passo 4

Como nossa série original é aproximadamente igual a uma série que já sabemos que diverge, podemos concluir, usando o Teste da Comparação, que a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty raiz[3]n^2 + n + 1n - 3 diverge.

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