Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n(0,2)^n+1.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série sumn=1^infty (-1)^n (0,2)^n+1 converge ou diverge. A matéria que vai rolar aqui é sobre séries infinitas, mais especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e também dar uma olhada na série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos: sumn=1^infty (-1)^n (0,2)^n+1. Essa série tem um termo geral que alterna de sinal por causa do (-1)^n e envolve uma potência de 0,2.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral para facilitar: (0,2)^n+1 = 0,2 cdot (0,2)^n. Então, a série fica:
sumn=1^infty (-1)^n cdot 0,2 cdot (0,2)^n = 0,2 sumn=1^infty (-1)^n (0,2)^n

Passo 4

Agora, vamos focar na série sumn=1^infty (-1)^n (0,2)^n. Essa é uma série geométrica alternada, onde a razão é r = -0,2.

Passo 5

Para séries geométricas da forma sumn=0^infty ar^n, a série converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. No nosso caso, |r| = | -0,2 | = 0,2 < 1, então a série geométrica converge.

Passo 6

Além disso, como a série geométrica com r = -0,2 converge, a série original, que é a mesma multiplicada por 0,2, também converge. E como o valor absoluto da série geométrica converge, dizemos que a série dada converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n (0,2)^n+1 converge absolutamente.

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