Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria que vai rolar aqui é sobre séries infinitas, mais especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e também dar uma olhada na série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
. Essa série tem um termo geral que alterna de sinal por causa do
e envolve uma potência de 0,2.
Passo 3
Vamos simplificar o termo geral para facilitar:
. Então, a série fica:
Passo 4
Agora, vamos focar na série
. Essa é uma série geométrica alternada, onde a razão é
.
Passo 5
Para séries geométricas da forma
, a série converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja,
. No nosso caso,
, então a série geométrica converge.
Passo 6
Além disso, como a série geométrica com
converge, a série original, que é a mesma multiplicada por 0,2, também converge. E como o valor absoluto da série geométrica converge, dizemos que a série dada converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente.