Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
sumn=2^infty 1n ln n ln (ln n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série infinita sumn=2^infty 1n ln n ln (ln n) converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre testes de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar o Teste da Integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa série. Ela é uma soma infinita onde cada termo é 1n ln n ln (ln n). Queremos saber se, somando todos esses termos, a série se aproxima de um número finito (converge) ou se ela fica sem limites (diverge).

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral, que nos ajuda a verificar a convergência de séries usando integrais. Esse teste diz que se a integral de uma função f(x) de 2 até o infinito converge, então a série sumn=2^infty f(n) também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 4

Vamos considerar a função contínua, positiva e decrescente f(x) = 1x ln x ln (ln x). Vamos calcular a integral de f(x) de 2 até o infinito:
integral2^infty 1x ln x ln (ln x) , dx

Passo 5

Fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = ln x, então du = 1x dx. Substituindo na integral:
integral 1x ln x ln (ln x) , dx = integral 1u ln u , du

Passo 6

Agora, fazemos outra substituição. Deixe w = ln u, então dw = 1u du. Substituindo novamente:
integral 1u ln u , du = integral 1w , dw = ln |w| + C = ln (ln u) + C = ln (ln (ln x)) + C

Passo 7

Vamos avaliar o limite dessa integral quando x tende ao infinito:
limx to infty ln (ln (ln x)) = infty
Isso significa que a integral diverge.

Resposta

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1n ln n ln (ln n) diverge.

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