Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série infinita
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre testes de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar o Teste da Integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa série. Ela é uma soma infinita onde cada termo é
. Queremos saber se, somando todos esses termos, a série se aproxima de um número finito (converge) ou se ela fica sem limites (diverge).
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral, que nos ajuda a verificar a convergência de séries usando integrais. Esse teste diz que se a integral de uma função
de 2 até o infinito converge, então a série
também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 4
Vamos considerar a função contínua, positiva e decrescente
. Vamos calcular a integral de
de 2 até o infinito:
Passo 5
Fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
, então
. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, fazemos outra substituição. Deixe
, então
. Substituindo novamente:
Passo 7
Vamos avaliar o limite dessa integral quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge.
Resposta
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
diverge.