Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge.
sumn=1^infty 4(2 n)!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série infinita sumn=1^infty 4(2n)! converge ou diverge. Isso envolve conhecimentos de séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos analisar o comportamento dos termos da série usando o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Matematicamente, se temos uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
E analisamos o valor de L.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na nossa série, temos an = 4(2n)!.
Vamos calcular:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 4(2(n+1))! cdot (2n)!4 = limn to infty (2n)!(2n+2)!

Passo 4

Simplificando a expressão:
(2n)!(2n+2)! = (2n)!(2n+2)(2n+1)(2n)! = 1(2n+2)(2n+1)
Então, o limite L fica:
L = limn to infty 1(2n+2)(2n+1)

Passo 5

Calculando o limite:
L = limn to infty 14n^2 + 6n + 2 = 0
Como L = 0 e 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 4(2n)! converge.

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