Determine se a série numérica abaixo converge ou diverge. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série infinita converge ou diverge. Isso envolve conhecimentos de séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos analisar o comportamento dos termos da série usando o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Matematicamente, se temos uma série , calculamos:
E analisamos o valor de L.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão na nossa série, temos an = 4(2n)!.
Vamos calcular:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 4(2(n+1))! cdot (2n)!4 = limn to infty (2n)!(2n+2)!