Determine se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 (n+2)^n2^n n^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n-1(n+2)^n2^nn^n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da razão para a série de termos absolutos sum |an|, onde
an=(-1)^n-1(n+2)^n2^nn^n

Passo 2

Analisamos a série de termos positivos
sumn=1^infty|an|=sumn=1^infty(n+2)^n2^nn^n
Pelo teste da razão, calculamos
L=limntoinfty|an+1||an| =limntoinfty(n+3)^,n+12^,n+1(n+1)^,n+1(n+2)^n2^nn^n

Passo 3

Simplificando a razão:
|an+1||an| =12, (n+3)^,n+1(n+1)^,n+1, n^n(n+2)^n =12, l(tfracn+3n+1r)^n+1 l(tfracnn+2r)^n
Note que
tfracn+3n+1=1+tfrac2n+1to1 e
tfracnn+2=1-tfrac2n+2to1,
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l(tfracn+3n+1r)^n+1to e^2, l(tfracnn+2r)^nto e^-2,
e o produto tende a 1. Assim
L=limntoinfty|an+1||an| =12times1 =12<1

Passo 4

Como L<1, pelo teste da razão a série sum|an| converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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