Determine se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries alternadas e de séries de potências (p-séries).
Passo 2
Verificamos primeiro a convergência absoluta, isto é, analisamos
Isso é uma p-série com p=tfrac12, e sabemos que uma p-série sum n^-p converge somente se p>1. Aqui p=tfrac12<1, logo
sumn=1^infty1raizn=infty
e a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Seja bn = 1/raizn. Observamos que:
bn>0 para todo n.
A sequência (bn) é monotonicamente decrescente, pois
1raizn+1<1raizn para todo n>=1
limntoinftybn = limntoinfty1raizn=0.
Pelo teste de Leibniz, essas três condições garantem que