Determine se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn
se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries alternadas e de séries de potências (p-séries).

Passo 2

Verificamos primeiro a convergência absoluta, isto é, analisamos
sumn=1^infty l|(-1)^n-1raiznr| =sumn=1^infty1raizn
Isso é uma p-série com p=tfrac12, e sabemos que uma p-série sum n^-p converge somente se p>1. Aqui p=tfrac12<1, logo
sumn=1^infty1raizn=infty
e a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Seja bn = 1/raizn. Observamos que:
  1. bn>0 para todo n.
  2. A sequência (bn) é monotonicamente decrescente, pois
1raizn+1<1raizn para todo n>=1
  1. limntoinftybn = limntoinfty1raizn=0.
Pelo teste de Leibniz, essas três condições garantem que
sumn=1^infty(-1)^n-1bn
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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