Para os problemas a seguir, utilize a método conveniente para resolver as integrais que envolvem produtos de funções trigonométricas.
integral raizcos z sin ^3 z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raizcos z,sin^3 z ,dz
usando um método conveniente para integrais de produtos de funções trigonométricas. Aqui vamos usar a substituição que aproveita a derivada de cos z.

Passo 2

Reescrevemos sin^3 z como
sin^3 z = sin^2 z;sin z = (1 - cos^2 z),sin z
Dessa forma a integral fica
integral raizcos z,(1 - cos^2 z),sin z ,dz

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos z, du = -sin z,dz Longrightarrow sin z,dz = -,du
Assim,
raizcos z,(1 - cos^2 z),sin z ,dz = raizu,(1 - u^2),(-du) = -l(u^1/2 - u^5/2r),du

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
- integral l(u^1/2 - u^5/2r),du = -l[integral u^1/2,du ;-;integral u^5/2,dur] = -l[u^3/2tfrac32 ;-;u^7/2tfrac72r]
Calculando os coeficientes:
- l[tfrac23u^3/2 - tfrac27u^7/2r] = -23,u^3/2 + 27,u^7/2

Passo 5

Volta à variável z com u=cos z:
-23,(cos z)^3/2 + 27,(cos z)^7/2 + C

Resposta

integral raizcos z,sin^3 z ,dz = -23,(cos z)^3/2 + 27,(cos z)^7/2 + C

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