Determine se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 2^n(n!)^2(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n-12^n(n!)^2(2n)!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é testar convergência de séries alternadas e em particular a convergência absoluta, usando o teste da razão.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty|2^n(n!)^2(2n)!| =sumn=1^infty2^n(n!)^2(2n)!
Aplicamos o teste da razão a an=2^n(n!)^2(2n)!.

Passo 3

Calculamos
an+1an =2^n+1l((n+1)!r)^2/(2n+2)!2^n(n!)^2/(2n)! =2;(n+1)^2(2n+2)(2n+1) =2;(n+1)^22(n+1)(2n+1) =n+12n+1
Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an =limntoinftyn+12n+1 =12<1

Passo 4

Como o teste da razão dá limite 1/2<1, a série de an converge. Logo,
sumn=1^infty2^n(n!)^2(2n)!
converge, o que implica convergência absoluta da série original.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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