Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^{2}} é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n^{2}}.
O conteúdo principal aqui é o teste de convergência absoluta e o uso de séries tipo p–séries (no caso p=2).

Passo 2

Lembrando que se uma série \sum a_{n} satisfaz
\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| < \infty,
então \sum a_{n} é absolutamente convergente e, portanto, convergente.

Passo 3

Note que para todo n vale
\left|\frac{\cos n}{n^{2}}\right| = \frac{|\cos n|}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}},
porque |\cos n|\le1.

Passo 4

Como a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma p–série com p=2>1 (logo convergente), pelo teste da comparação temos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\cos n}{n^{2}}\right| < \infty.
Logo a série dada é absolutamente convergente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n^{2}} é convergente (na verdade, absolutamente convergente).

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