Determine se a série \sum(\log n / n)^{n} é convergente usando ambos os testes, de d’Alembert e Cauchy.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
a_n = \Bigl(\frac{\log n}{n}\Bigr)^{n}
usando os testes de d’Alembert (razão) e de Cauchy (raiz). Vamos precisar conhecer o critério que diz:
– Se \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L e L<1, a série converge.
– Se \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = R e R<1, a série converge.