Questão: ( 6 pontos) Responda falso ou verdadeiro e justifique a sua resposta, ou seja, prove caso seja verdadeiro ou dê um contra-exemplo caso seja falso).
(a)
.
(b)
para todo campo
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede dois testes sobre operadores vetoriais em
:
– (a) verificar se vale para toda função
.
– (b) verificar se vale para todo campo vetorial
.
Para isso vamos usar as definições de divergência, gradiente, rotacional e suas propriedades lineares.
– (a) verificar se
– (b) verificar se
Para isso vamos usar as definições de divergência, gradiente, rotacional e suas propriedades lineares.
Passo 2
Item (a):
Por definição
Por definição
onde
é o laplaciano de
. Em geral
(apenas funções harmónicas têm laplaciano nulo).
Contra-exemplo: tome . Então
Contra-exemplo: tome
e
Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (b):
Sabemos que o rotacional é linear e que
Sabemos que o rotacional é linear e que
para toda função
suficientemente suave.
Pela linearidade de vem
Pela linearidade de vem
Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Falso.
(b) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.