\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão: ( 6 pontos) Responda falso ou verdadeiro e justifique a sua resposta, ou seja, prove caso seja verdadeiro ou dê um contra-exemplo caso seja falso).
(a) \operatorname{Div}(\nabla f)=0.
(b) \operatorname{Rot}(\nabla f+\vec{F})=\operatorname{Rot}(\vec{F}) para todo campo \vec{F}.

Passo 1

O enunciado pede dois testes sobre operadores vetoriais em \mathbb{R}^{3}:
– (a) verificar se \operatorname{div}(\nabla f)=0 vale para toda função f.
– (b) verificar se \operatorname{rot}(\nabla f+\vec{F})=\operatorname{rot}(\vec{F}) vale para todo campo vetorial \vec{F}.
Para isso vamos usar as definições de divergência, gradiente, rotacional e suas propriedades lineares.

Passo 2

Item (a):
Por definição
\Div(\nabla f)\;=\;\nabla\cdot(\nabla f)\;=\;\Delta f,
onde \Delta f é o laplaciano de f. Em geral \Delta f\neq0 (apenas funções harmónicas têm laplaciano nulo).
Contra-exemplo: tome f(x,y,z)=x^2. Então
\nabla f=(2x,0,0),
e
\Div(\nabla f) =\frac{\partial}{\partial x}(2x)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(0) =2\neq0.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Item (b):
Sabemos que o rotacional é linear e que
\Rot(\nabla f)=\nabla\times(\nabla f)=\vec0
para toda função f suficientemente suave.
Pela linearidade de \Rot vem
\Rot(\nabla f+\vec F) =\Rot(\nabla f)+\Rot(\vec F) =\vec0+\Rot(\vec F) =\Rot(\vec F).
Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falso.
(b) Verdadeiro.

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