— que sabemos convergir condicionalmente a \ln2 — de modo que, após a nova ordem, a soma passe a ser 0. O conteúdo aqui é o Teorema de Riemann sobre rearranjos de séries condicionalmente convergentes. Para “efetuar explicitamente” a reordenação, vamos separar em termos positivos e negativos e agrupar esses blocos de maneira a forçar a soma para zero.
Os somatórios \sum_{k=1}^\infty a_k e \sum_{j=1}^\infty b_j divergem, respectivamente, para +\infty e -\infty. Usaremos isso para construir blocos que alternem “ultrapassar um patamar positivo” e “cair abaixo de zero”, fazendo a soma tender a 0.
Passo 3
Defina o primeiro bloco de termos positivos como os n_1 primeiros a_k necessários para que
A_1 = \sum_{k=1}^{n_1} a_k > 1.
Em seguida, escolha m_1 de modo que, ao somar os m_1 primeiros b_j a A_1, fique
A_1 + \sum_{j=1}^{m_1} b_j < 0.
Dessa forma, o “pico” do primeiro bloco positivo ultrapassou 1 e o bloco negativo seguinte jogou a soma para abaixo de 0.
Passo 4
Para o segundo ciclo, faça o mesmo com patamar mais baixo: encontre n_2>n_1 tal que, usando os termos positivos de índice entre n_1+1 e n_2, a soma atinja
e depois ache m_2>m_1 para que, ao acrescentar os b_j de índice de m_1+1 até m_2, a soma caia novamente abaixo de 0.
Repetindo esse procedimento de modo recursivo, definimos blocos positivos que ultrapassam \tfrac1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots e blocos negativos que trazem de volta para abaixo de 0. Isso faz as somas parciais oscilar entre um valor ligeiramente acima de cada \tfrac1k e abaixo de 0, convergindo finalmente a 0.
Cada bloco “positivo” ultrapassa um patamar 1/k logo decrescente e cada bloco “negativo” retorna abaixo de zero, de modo que as somas parciais convergem para zero.
onde n_1,n_2,\dots e m_1,m_2,\dots são escolhidos para alternar ultrapassar 1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots e ficar abaixo de 0. Essa ordenação faz a soma convergir a 0.