1. Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 1 / 2+1 / 3-1 / 4+1 / 5-\cdots de modo que sua soma se torne igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede para reordenar os termos da série alternante
1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \tfrac15 - \cdots
— que sabemos convergir condicionalmente a \ln2 — de modo que, após a nova ordem, a soma passe a ser 0. O conteúdo aqui é o Teorema de Riemann sobre rearranjos de séries condicionalmente convergentes. Para “efetuar explicitamente” a reordenação, vamos separar em termos positivos e negativos e agrupar esses blocos de maneira a forçar a soma para zero.

Passo 2

Separe os termos positivos e negativos da série:
a_k = \frac1{2k-1}\quad(k=1,2,3,\dots)\quad(\text{positivos}),
b_j = -\frac1{2j}\quad(j=1,2,3,\dots)\quad(\text{negativos}).
Os somatórios
\sum_{k=1}^\infty a_k e \sum_{j=1}^\infty b_j divergem, respectivamente, para +\infty e -\infty. Usaremos isso para construir blocos que alternem “ultrapassar um patamar positivo” e “cair abaixo de zero”, fazendo a soma tender a 0.

Passo 3

Defina o primeiro bloco de termos positivos como os n_1 primeiros a_k necessários para que
A_1 = \sum_{k=1}^{n_1} a_k > 1.
Em seguida, escolha m_1 de modo que, ao somar os m_1 primeiros b_j a A_1, fique
A_1 + \sum_{j=1}^{m_1} b_j < 0.
Dessa forma, o “pico” do primeiro bloco positivo ultrapassou 1 e o bloco negativo seguinte jogou a soma para abaixo de 0.

Passo 4

Para o segundo ciclo, faça o mesmo com patamar mais baixo: encontre n_2>n_1 tal que, usando os termos positivos de índice entre n_1+1 e n_2, a soma atinja
A_1 + \sum_{j=1}^{m_1} b_j + \sum_{k=n_1+1}^{n_2} a_k > \tfrac12,
e depois ache m_2>m_1 para que, ao acrescentar os b_j de índice de m_1+1 até m_2, a soma caia novamente abaixo de 0.
Repetindo esse procedimento de modo recursivo, definimos blocos positivos que ultrapassam \tfrac1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots e blocos negativos que trazem de volta para abaixo de 0. Isso faz as somas parciais oscilar entre um valor ligeiramente acima de cada \tfrac1k e abaixo de 0, convergindo finalmente a 0.

Passo 5

Explicitamente, a série rearranjada fica:
\underbrace{a_1 + a_2 + \cdots + a_{n_1}}_{\text{>1}} \;\; \underbrace{b_1 + b_2 + \cdots + b_{m_1}}_{\text{<0}} \;\; \underbrace{a_{n_1+1} + \cdots + a_{n_2}}_{\text{>1/2}} \;\; \underbrace{b_{m_1+1} + \cdots + b_{m_2}}_{\text{<0}} \;\;\cdots
ou seja,
\bigl(\tfrac11+\tfrac13+\cdots+\tfrac1{2n_1-1}\bigr) +\bigl(-\tfrac12-\tfrac14-\cdots-\tfrac1{2m_1}\bigr) +\bigl(\tfrac1{2n_1+1}+\cdots+\tfrac1{2n_2-1}\bigr) +\bigl(-\tfrac1{2(m_1+1)}-\cdots-\tfrac1{2m_2}\bigr) +\cdots.
Cada bloco “positivo” ultrapassa um patamar 1/k logo decrescente e cada bloco “negativo” retorna abaixo de zero, de modo que as somas parciais convergem para zero.

Resposta

A reordenação explícita é feita por blocos:
\underbrace{\tfrac11+\tfrac13+\cdots+\tfrac1{2n_1-1}}_{>1} \;\; \underbrace{-\tfrac12-\tfrac14-\cdots-\tfrac1{2m_1}}_{<0} \;\; \underbrace{\tfrac1{2n_1+1}+\cdots+\tfrac1{2n_2-1}}_{>1/2} \;\; \underbrace{-\tfrac1{2(m_1+1)}-\cdots-\tfrac1{2m_2}}_{<0} \;\;\cdots,
onde n_1,n_2,\dots e m_1,m_2,\dots são escolhidos para alternar ultrapassar 1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots e ficar abaixo de 0. Essa ordenação faz a soma convergir a 0.

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