Determine se a série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule a soma.

Passo 1

O enunciado pede determinar se a série \sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}
converge ou diverge. Esse é um problema de séries numéricas, mais especificamente séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma quando convergem.

Passo 2

Observamos que os termos formam uma progressão geométrica de razão r=\tfrac{1}{3} e primeiro termo a=(\tfrac{1}{3})^0=1.

Passo 3

Usamos o critério de convergência: uma série geométrica \sum a\,r^n converge se e somente se \lvert r\rvert<1. Aqui \lvert\tfrac{1}{3}\rvert<1, portanto a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes, a soma é dada por
S = \frac{a}{1-r}
Substituindo a=1 e r=\tfrac{1}{3}, temos
S = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{1}{\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{3}{2}.

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