Verifique a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} 5 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} e, se convergente, calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}5\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}
que é uma série geométrica. Para resolver, precisamos lembrar que uma série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}a_1\,r^{n-1}
converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1 e, nesse caso, sua soma é
S = \frac{a_1}{1 - r}.

Passo 2

Aqui o primeiro termo é
a_1 = 5\left(-\frac{2}{3}\right)^{0} = 5
e a razão é
r = -\frac{2}{3}.

Passo 3

Como
\lvert r\rvert = \left\lvert -\frac{2}{3}\right\rvert = \frac{2}{3} < 1,
a série converge pelo critério da série geométrica.

Passo 4

Para encontrar a soma, aplicamos a fórmula
S = \frac{a_1}{1 - r}
e obtemos
S = \frac{5}{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{5}{1 + \tfrac{2}{3}} = \frac{5}{\tfrac{5}{3}} = 3.

Resposta

A série converge e sua soma é 3.

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