Dê a razão r e o termo inicial a da série \sum_{n=0}^{\infty} 8 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n} e determine sua soma.

Passo 1

O enunciado apresenta a série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}8\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n},
que é uma série geométrica. Para resolvê-la, precisamos identificar o termo inicial a, a razão r e então aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica convergente.

Passo 2

Numa série geométrica da forma
\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n},
o termo inicial é a e a razão é r. Aqui temos 8\cdot(\tfrac12)^{n}=a\,r^{n}, logo
a = 8\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{0} = 8, \quad r = \tfrac12.

Passo 3

Como \lvert r\rvert = \tfrac12 < 1, a série converge e sua soma é dada por
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a=8 e r=\tfrac12, obtemos
S = \frac{8}{1 - \tfrac12} = \frac{8}{\tfrac12} = 16.

Resposta

a =8,
r = \tfrac12,
S =16.

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