( 2,5 pontos) Encontre a solução geral de y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}=3-\operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 2y'' = 3 - \sin x.
O método padrão é decompor em solução geral homogênea y_h (resolvendo o polinômio característico) mais uma solução particular y_p (somando contribuições para cada termo do lado direito, via coeficientes a determinar).

Passo 2

Calcular a parte homogênea. O polinômio característico é
r^3 - 2r^2 = r^2(r-2)=0,
cujas raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=2. Assim
y_h = C_1 e^{0x} + C_2 x e^{0x} + C_3 e^{2x} = C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x}.

Passo 3

Encontrar y_{p1} para a parte constante 3. Como e^{0x} é raiz dupla, tentamos
y_{p1} = A x^2.
Calculando
y_{p1}''=2A,\quad y_{p1}'''=0,
logo
y_{p1}''' - 2y_{p1}'' = -2\cdot(2A) = -4A \stackrel!= 3 \;\Longrightarrow\; A = -\tfrac{3}{4}.
Portanto
y_{p1} = -\tfrac{3}{4}x^2.

Passo 4

Encontrar y_{p2} para a parte -\sin x. Fazemos o palpite
y_{p2} = a\cos x + b\sin x.
Então
y_{p2}'' = -a\cos x - b\sin x,\qquad y_{p2}''' = a\sin x - b\cos x,
y_{p2}''' - 2y_{p2}'' = (a\sin x - b\cos x) -2(-a\cos x - b\sin x) = (a+2b)\sin x +(-b+2a)\cos x.
Impondo
(a+2b)\sin x +(-b+2a)\cos x = -\sin x + 0\cos x
vemos o sistema
a + 2b = -1,\quad 2a - b = 0 \;\Longrightarrow\; a = -\tfrac{1}{5},\; b=-\tfrac{2}{5}.
Logo
y_{p2} = -\tfrac{1}{5}\cos x \;-\;\tfrac{2}{5}\sin x.

Passo 5

A solução particular total é
y_p = y_{p1} + y_{p2} = -\tfrac{3}{4}x^2 \;-\;\tfrac{1}{5}\cos x \;-\;\tfrac{2}{5}\sin x.
Somando à homogênea, a solução geral fica
y = C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x} -\tfrac{3}{4}x^2 \;-\;\tfrac{1}{5}\cos x \;-\;\tfrac{2}{5}\sin x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x} -\tfrac{3}{4}x^2 -\tfrac{1}{5}\cos x -\tfrac{2}{5}\sin x.

Exercícios relacionados