( 2,5 pontos) Encontre a solução geral de
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
O método padrão é decompor em solução geral homogênea
(resolvendo o polinômio característico) mais uma solução particular
(somando contribuições para cada termo do lado direito, via coeficientes a determinar).
Passo 2
Calcular a parte homogênea. O polinômio característico é
cujas raízes são
(multiplicidade 2) e
. Assim
Passo 3
Encontrar
para a parte constante
. Como
é raiz dupla, tentamos
Calculando
logo
Portanto
Passo 4
Encontrar
para a parte
. Fazemos o palpite
Então
Impondo
vemos o sistema
Logo
Passo 5
A solução particular total é
Somando à homogênea, a solução geral fica