Determine a série de Taylor da função f com centro c f(x)=e^{-4 x}, c=0
Passo 1
O enunciado dá a função \\ f(x)=e^{-4x}\ e o centro \\ c=0.
O que é pedido: determinar a série de Taylor de f centrada em 0 (ou seja, a série de Maclaurin) — a soma em potência de x que representa f(x) ao redor de 0.
Informações relevantes fornecidas: f está explicitamente dada por uma exponencial com coeficiente -4 em x. Não há mais dados ocultos.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula geral da série de Taylor centrada em c. A fórmula diz que, se f é infinitamente diferenciável em torno de c, então
f^{(n)}\text{(c)} é a n-ésima derivada de f avaliada em x=c;
n! é o fatorial de n (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6);
(x-c)^n é a potência que mostra a dependência em x em torno do centro c.
Essa fórmula é a base para montar a série: precisamos das derivadas de f em c=0.
Passo 3
Calculemos as derivadas de f(x)=e^{-4x}. Vou fazer os primeiros termos e depois ver um padrão:
Fica claro o padrão; por indução (ou observação) obtemos, para todo n\ge0,
f^{(n)}(x)=(-4)^n e^{-4x}.
Explicando a ideia da indução rapidamente: para n=0 é verdade pois f^{(0)}(x)=f(x)=e^{-4x}. Se vale para n, então derivando multiplicamos por -4 novamente, obtendo o caso n+1.
Como o limite é 0 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito). Além disso, como sabemos que a soma da série da exponencial é a própria exponencial, a série converge para f(x)=e^{-4x} para todo real.
Passo 8
Dica prática para prova: você pode sempre usar dois atalhos — (1) reconhecer que é só a série de e^u com u=-4x, ou (2) calcular rapidamente f^{(n)}(0) via o padrão f^{(n)}(0)=(-4)^n. Em prova, escrever a fórmula geral e os primeiros termos já garante a resposta completa. Você está indo bem — respira fundo e repete esse procedimento com outras exponenciais para fixar.