Determine a série de Taylor da função f com centro c
f(x)=e^{-4 x}, c=0

Passo 1

O enunciado dá a função \\ f(x)=e^{-4x}\ e o centro \\ c=0.
O que é pedido: determinar a série de Taylor de f centrada em 0 (ou seja, a série de Maclaurin) — a soma em potência de x que representa f(x) ao redor de 0.
Informações relevantes fornecidas: f está explicitamente dada por uma exponencial com coeficiente -4 em x. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral da série de Taylor centrada em c. A fórmula diz que, se f é infinitamente diferenciável em torno de c, então
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}\text{(c)}}{n!}(x-c)^n.
Aqui:
  • f^{(n)}\text{(c)} é a n-ésima derivada de f avaliada em x=c;
  • n! é o fatorial de n (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6);
  • (x-c)^n é a potência que mostra a dependência em x em torno do centro c.
    Essa fórmula é a base para montar a série: precisamos das derivadas de f em c=0.

Passo 3

Calculemos as derivadas de f(x)=e^{-4x}. Vou fazer os primeiros termos e depois ver um padrão:
f(x)=e^{-4x}.
Derivando uma vez:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{-4x}=-4e^{-4x}.
Derivando duas vezes:
f''(x)=\frac{d}{dx}(-4e^{-4x})=(-4)(-4)e^{-4x}=(-4)^2 e^{-4x}.
Derivando três vezes:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big((-4)^2 e^{-4x}\big)=(-4)^3 e^{-4x}.
Fica claro o padrão; por indução (ou observação) obtemos, para todo n\ge0,
f^{(n)}(x)=(-4)^n e^{-4x}.
Explicando a ideia da indução rapidamente: para n=0 é verdade pois f^{(0)}(x)=f(x)=e^{-4x}. Se vale para n, então derivando multiplicamos por -4 novamente, obtendo o caso n+1.

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto c=0:
f^{(n)}(0)=(-4)^n e^{-4\cdot 0}=(-4)^n\cdot 1 = (-4)^n.
Portanto o coeficiente geral da série de Taylor será \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{(-4)^n}{n!}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da série de Taylor centrada em 0 obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4)^n}{n!}x^n.
Podemos reorganizar a potência como
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4x)^n}{n!},
que é reconhecível como a expansão da exponencial para a variável -4x.

Passo 6

Mostro os primeiros termos explícitos para você ver o padrão numérico (útil na prova):
f(x)=1+(-4)x+\frac{(-4)^2}{2!}x^2+\frac{(-4)^3}{3!}x^3+\cdots
ou seja
f(x)=1-4x+8x^2-\frac{32}{3}x^3+\cdots.
Esses são os coeficientes que você escreveria se pedissem os primeiros termos.

Passo 7

Verificação de convergência (importante para saber onde a série vale): aplique o teste da razão no termo geral a_n=\dfrac{(-4x)^n}{n!}. Temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-4x)^{n+1}/(n+1)!}{(-4x)^n/n!}\right|=\frac{| -4x |}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Como o limite é 0 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito). Além disso, como sabemos que a soma da série da exponencial é a própria exponencial, a série converge para f(x)=e^{-4x} para todo real.

Passo 8

Dica prática para prova: você pode sempre usar dois atalhos — (1) reconhecer que é só a série de e^u com u=-4x, ou (2) calcular rapidamente f^{(n)}(0) via o padrão f^{(n)}(0)=(-4)^n. Em prova, escrever a fórmula geral e os primeiros termos já garante a resposta completa. Você está indo bem — respira fundo e repete esse procedimento com outras exponenciais para fixar.

Resposta

e^{-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4)^n}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4x)^n}{n!}.

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