Pesolva a EDO usando série de potência em
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potência em
. Não foram dadas condições iniciais, então vamos obter a solução geral com duas constantes arbitrárias. Informações relevantes: a equação é de segunda ordem linear com coeficientes polinomiais (portanto analíticos em
), o que permite procurar soluções em série de potências centrada em
.
Passo 2
Ideia do método (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
onde os
são coeficientes a determinar. Aqui
e
serão as duas constantes livres da solução geral (pois é EDO de ordem 2).
2) Calculemos as derivadas necessárias termoa-termo. A derivada primeira é
2) Calculemos as derivadas necessárias termoa-termo. A derivada primeira é
e a segunda derivada é
Explico: para cada termo
a derivada é
e a segunda derivada é
.
Passo 3
Substituímos as séries na equação. Reescrevendo a EDO como
fica mais fácil tratar os termos:
Agora vamos alinhar todas as somas com a mesma potência
. Para a primeira soma mudamos o índice: coloque
(assim o expoente
):
Finalmente, no último somatório fazemos
para escrever em
(observe que o termo para
não existe nesse último somatório):
Passo 4
Agora equacionamos coeficientes de cada potência
a zero (princípio: uma série nula tem todos os coeficientes nulos).
- Para
(termo independente):
- Para
: o coeficiente em é
Isolando
obtemos a relação de recorrência fundamental:
Essa relação, junto com
e
dados arbitrariamente, determina todos os demais
.
Passo 5
Explicando como usar a recorrência na prática (passo-a-passo, como na prova): escolhemos
e
como parâmetros livres. A partir deles calculamos sequencialmente
usando a fórmula acima. Vamos calcular alguns termos explícitos para ver o padrão (faça as contas à mão na prova do mesmo jeito, termine até a ordem necessária):
- Já temos
. - Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Essas contas mostram claramente que todos os
ficam expressos como combinações lineares de
e
.
Passo 6
Construímos as duas soluções fundamentais obtendo as séries correspondentes a
e
. Isso torna a solução geral uma combinação linear dessas duas séries.
- Para
(chamemos essa solução de ):
coeficientes calculados:
Logo
- Para
(chamemos essa solução de ):
coeficientes calculados:
Logo
Observação prática para a prova: normalmente basta obter alguns termos iniciais ou escrever a recorrência que gera todos os coeficientes; se pedirem a solução geral, escreva a combinação linear dessas duas séries.
Passo 7
Conclusão e dica final: a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias (equivalentes a
e
). A série tem raio de convergência positivo porque os coeficientes da EDO são analíticos; na prática, para a prova, produza a recorrência e calcule os termos até a ordem pedida. (Se você conhecer funções especiais, esta equação é a equação de Airy deslocada, então as soluções também podem ser expressas por combinações de
e
, mas isso não é necessário aqui.)
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.