Pesolva a EDO usando série de potência em x.
y^{\prime \prime}-(1+x) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-(1+x)y=0
usando séries de potência em x. Não foram dadas condições iniciais, então vamos obter a solução geral com duas constantes arbitrárias. Informações relevantes: a equação é de segunda ordem linear com coeficientes polinomiais (portanto analíticos em x=0), o que permite procurar soluções em série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Ideia do método (passo-a-passo, sem pular etapas):
  1. Assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar. Aqui a_0 e a_1 serão as duas constantes livres da solução geral (pois é EDO de ordem 2).
2) Calculemos as derivadas necessárias termoa-termo. A derivada primeira é
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
e a segunda derivada é
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.
Explico: para cada termo a_n x^n a derivada é n a_n x^{n-1} e a segunda derivada é n(n-1)a_n x^{n-2}.

Passo 3

Substituímos as séries na equação. Reescrevendo a EDO como y''-y - x y=0 fica mais fácil tratar os termos:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;-\; x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\; 0.
Agora vamos alinhar todas as somas com a mesma potência x^n. Para a primeira soma mudamos o índice: coloque n\mapsto n+2 (assim o expoente n+2-2=n):
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} \;=\; 0.
Finalmente, no último somatório fazemos n\mapsto n-1 para escrever em x^n (observe que o termo para x^0 não existe nesse último somatório):
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;-\; \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n} \;=\; 0.

Passo 4

Agora equacionamos coeficientes de cada potência x^n a zero (princípio: uma série nula tem todos os coeficientes nulos).
  • Para n=0 (termo independente):
(2)(1)a_2 - a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = \frac{a_0}{2}.
  • Para n\ge 1: o coeficiente em x^n é
(n+2)(n+1)a_{n+2} - a_n - a_{n-1}=0.
Isolando a_{n+2} obtemos a relação de recorrência fundamental:
\boxed{\,a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}\quad\text{para } n\ge 1. \,}
Essa relação, junto com a_0 e a_1 dados arbitrariamente, determina todos os demais a_n.

Passo 5

Explicando como usar a recorrência na prática (passo-a-passo, como na prova): escolhemos a_0 e a_1 como parâmetros livres. A partir deles calculamos sequencialmente a_2,a_3,\dots usando a fórmula acima. Vamos calcular alguns termos explícitos para ver o padrão (faça as contas à mão na prova do mesmo jeito, termine até a ordem necessária):
  • Já temos a_2=\dfrac{a_0}{2}.
  • Para n=1:
a_3=\frac{a_1+a_0}{3\cdot 2}=\frac{a_1+a_0}{6}.
  • Para n=2:
a_4=\frac{a_2+a_1}{4\cdot 3}=\frac{\dfrac{a_0}{2}+a_1}{12}=\frac{a_0+2a_1}{24}.
  • Para n=3:
a_5=\frac{a_3+a_2}{5\cdot 4}=\frac{\dfrac{a_1+a_0}{6}+\dfrac{a_0}{2}}{20}=\frac{a_1+4a_0}{120}.
  • Para n=4:
a_6=\frac{a_4+a_3}{6\cdot 5}=\frac{\dfrac{a_0+2a_1}{24}+\dfrac{a_1+a_0}{6}}{30}=\frac{5a_0+6a_1}{720}.
Essas contas mostram claramente que todos os a_n ficam expressos como combinações lineares de a_0 e a_1.

Passo 6

Construímos as duas soluções fundamentais obtendo as séries correspondentes a (a_0,a_1)=(1,0) e (a_0,a_1)=(0,1). Isso torna a solução geral uma combinação linear dessas duas séries.
  1. Para a_0=1,\;a_1=0 (chamemos essa solução de y_1):
    coeficientes calculados: a_0=1,\;a_1=0,\;a_2=1/2,\;a_3=1/6,\;a_4=1/24,\;a_5=1/30,\;a_6=1/144,\dots
    Logo
y_1(x)=1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{30}x^5+\frac{1}{144}x^6+\cdots.
  1. Para a_0=0,\;a_1=1 (chamemos essa solução de y_2):
    coeficientes calculados: a_0=0,\;a_1=1,\;a_2=0,\;a_3=1/6,\;a_4=1/12,\;a_5=1/120,\;a_6=1/120,\dots
    Logo
y_2(x)=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{120}x^6+\cdots.
Observação prática para a prova: normalmente basta obter alguns termos iniciais ou escrever a recorrência que gera todos os coeficientes; se pedirem a solução geral, escreva a combinação linear dessas duas séries.

Passo 7

Conclusão e dica final: a solução geral é
y(x)=C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (equivalentes a a_0 e a_1). A série tem raio de convergência positivo porque os coeficientes da EDO são analíticos; na prática, para a prova, produza a recorrência e calcule os termos até a ordem pedida. (Se você conhecer funções especiais, esta equação é a equação de Airy deslocada, então as soluções também podem ser expressas por combinações de \mathrm{Ai}(1+x) e \mathrm{Bi}(1+x), mas isso não é necessário aqui.)

Resposta

y(x)=C_1\!\left(1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{30}x^5+\frac{1}{144}x^6+\cdots\right) + C_2\!\left(x+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{120}x^6+\cdots\right)
\text{com a recorrência }a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}\\ (n\ge1),\; a_2=\frac{a_0}{2},ê
onde C_1=a_0 e C_2=a_1 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados