Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=senh x em torno de a=0.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=sinh x em torno de a=0. Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de zero, que exige conhecer f^(n)(0) para todo n, e depois aplicar o teste da razão para achar o raio de convergência. Por fim, decidimos se a série representa de fato sinh x.

Passo 2

Calculemos as derivadas de
Logo
é par},\ \operatorname{cosh} x,&se [n) é ímpar. \end{cases}]
Em temos e . Assim
é par},\ 1,&se é ímpar. \end{cases}]

Passo 3

Escrevendo a série de Taylor em torno de zero,
T0f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n,
os termos de índice par são nulos e só restam os ímpares n=2k+1. Logo
T0f(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)!

Passo 4

Para o raio de convergência R usemos o teste da razão nos coeficientes ak=tfrac1(2k+1)! associando ao expoente 2k+1. Alternativamente, note que é sub-série de exponencial, cujo raio é infinito. Formalmente,
limktoinfty|x^2(k+1)+1/(2(k+1)+1)!x^2k+1/(2k+1)!| =limktoinfty|x|^2(2k+2)(2k+3)=0<1
para todo x. Portanto R=infty.

Passo 5

Como sinh x é função inteira (analítica em todo R), a série de Taylor converge para sinh x em todo x. Ou seja,
T0f(x)=f(x)forall xinR

Resposta

T0f(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)!, R=infty, T0f=f em todo (R)

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