Determine a série de Taylor da função em torno do ponto determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade . em torno de .
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de em torno de . Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de zero, que exige conhecer para todo , e depois aplicar o teste da razão para achar o raio de convergência. Por fim, decidimos se a série representa de fato .
Passo 2
Calculemos as derivadas de
Logo
é par},\ \operatorname{cosh} x,&se [n) é ímpar. \end{cases}]
Em temos e . Assim
é par},\ 1,&se é ímpar. \end{cases}]
Passo 3
Escrevendo a série de Taylor em torno de zero,
os termos de índice par são nulos e só restam os ímpares . Logo
Passo 4
Para o raio de convergência usemos o teste da razão nos coeficientes associando ao expoente . Alternativamente, note que é sub-série de exponencial, cujo raio é infinito. Formalmente,
para todo x. Portanto R=infty.
Passo 5
Como sinh x é função inteira (analítica em todo R), a série de Taylor converge para sinh x em todo x. Ou seja,
T0f(x)=f(x)forall xinR
Resposta
T0f(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)!, R=infty, T0f=f em todo (R)