Uma lâmina delgada tem a forma da região D, que é interior à circunferência (x-2)^2+y^2=4 e exterior à circunferência x^2+y^2=4. Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por de<a(x, y, z)=(x^2+y^2)^-1/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma lâmina que tem a forma de uma região específica D . A região D é o espaço que está dentro da circunferência (x-2)^2 + y^2 = 4 e fora da circunferência x^2 + y^2 = 4. A densidade da lâmina é dada por de<a(x, y) = (x^2 + y^2)^-1/2. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e provavelmente será útil trabalhar em coordenadas polares porque estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as regiões das circunferências. A circunferência (x-2)^2 + y^2 = 4 tem centro em (2, 0) e raio 2, enquanto a circunferência x^2 + y^2 = 4 tem centro na origem (0, 0) e também raio 2. A região D é o espaço que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo.

Passo 3

Como estamos lidando com círculos, coordenadas polares serão mais fáceis de usar. Em coordenadas polares, as relações são:
x = r costheta e y = r sintheta
E a área diferencial dA em coordenadas polares é dado por:
dA = r , dr , dtheta
Além disso, a densidade de<a(x, y) se torna:
de<a(r) = (r^2)^-1/2 = 1r

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta . A circunferência (x-2)^2 + y^2 = 4 em coordenadas polares fica:
(r costheta - 2)^2 + (r sintheta)^2 = 4
Simplificando:
r^2 cos^2theta - 4r costheta + 4 + r^2 sin^2theta = 4
r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - 4r costheta = 0
r^2 - 4r costheta = 0
r(r - 4 costheta) = 0
Então, r = 0 ou r = 4 costheta . Ignoramos r = 0 porque não representa uma circunferência. Portanto, o limite para r vai de r = 2 (raio da circunferência x^2 + y^2 = 4) até r = 4 costheta .

Passo 5

Determinar os limites para theta . A circunferência (x-2)^2 + y^2 = 4 só existe para costheta >= 0 , ou seja, -pi2 <= theta <= pi2 . Portanto, theta varia de -pi2 a pi2 .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a massa M :
M = integral-pi2^pi2 integral2^4 costheta de<a(r) , r , dr , dtheta
Substituindo a densidade de<a(r) = 1r:
M = integral-pi2^pi2 integral2^4 costheta 1r cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral2^4 costheta 1 , dr , dtheta

Passo 7

Integrar em relação a r :
integral2^4 costheta 1 , dr = [ r ]2^4 costheta = 4 costheta - 2
Então, a integral se torna:
M = integral-pi2^pi2 (4 costheta - 2) , dtheta

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a theta :
integral-pi2^pi2 4 costheta , dtheta - integral-pi2^pi2 2 , dtheta
Calculando cada parte:
integral-pi2^pi2 4 costheta , dtheta = 4 [ sintheta ]-pi2^pi2 = 4(1 - (-1)) = 8
integral-pi2^pi2 2 , dtheta = 2 [ theta ]-pi2^pi2 = 2(pi2 - (-pi2)) = 2pi
Então, a massa M fica:
M = 8 - 2pi

Resposta

A massa da lâmina é M = 8 - 2pi .

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