Uma lâmina delgada tem a forma da região
, que é interior à circunferência
e exterior à circunferência
. Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma lâmina que tem a forma de uma região específica
. A região
é o espaço que está dentro da circunferência
e fora da circunferência
. A densidade da lâmina é dada por
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e provavelmente será útil trabalhar em coordenadas polares porque estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as regiões das circunferências. A circunferência
tem centro em
e raio 2, enquanto a circunferência
tem centro na origem
e também raio 2. A região
é o espaço que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo.
Passo 3
Como estamos lidando com círculos, coordenadas polares serão mais fáceis de usar. Em coordenadas polares, as relações são:
E a área diferencial
em coordenadas polares é dado por:
Além disso, a densidade
se torna:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. A circunferência
em coordenadas polares fica:
Simplificando:
Então,
ou
. Ignoramos
porque não representa uma circunferência. Portanto, o limite para
vai de
(raio da circunferência
) até
.
Passo 5
Determinar os limites para
. A circunferência
só existe para
, ou seja,
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a massa
:
Substituindo a densidade
:
Passo 7
Integrar em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a massa
fica:
Resposta
A massa da lâmina é
.