Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado.
y=3 x1+5 x^2, (1, 12)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = 3x1+5x^2
no ponto l(1,tfrac12r). O conteúdo é derivadas e aplicações da derivada na geometria de curvas.

Passo 2

Para achar a inclinação da tangente, calculamos a derivada y' usando a regra do quociente. Se u=3x e v=1+5x^2, então
u' = 3, v' = 10x,
e
y' = u'v - u,v'v^2 = 3(1+5x^2) - 3xcdot10x(1+5x^2)^2 = 3 +15x^2 -30x^2(1+5x^2)^2 = 3 -15x^2(1+5x^2)^2

Passo 3

Avaliaremos y' em x=1:
y'(1) = 3 - 15cdot1^2l(1+5cdot1^2r)^2 = 3 -156^2 = -1236 = -tfrac13
Logo, a inclinação da tangente em l(1,tfrac12r) é -tfrac13.

Passo 4

A equação da reta tangente com inclinação m=-tfrac13 passando por l(1,tfrac12r) vem de
y - tfrac12 = -tfrac13,(x - 1),
que em forma explícita é
y = -tfrac13x + tfrac56

Passo 5

A reta normal tem inclinação igual ao negativo do recíproco de -tfrac13, isto é, mrm normal=3. Usando o mesmo ponto,
y - tfrac12 = 3,(x - 1),
ou seja,
y = 3x - tfrac52

Resposta

Tangente: y = -tfrac13x + tfrac56
Normal: y = 3x - tfrac52

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