Verifique que:
ln (x+1)=sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em torno de x=0, a função
ln(1+x)
pode ser escrita como série de potências
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
O conteúdo aqui é o desenvolvimento em série de Taylor (ou Maclaurin) de ln(1+x). Vamos usar que a derivada de ln(1+x) é 1/(1+x) e que esta admite expansão em série geométrica para |x|<1.

Passo 2

Calculemos a derivada de f(x)=ln(1+x). Temos
f'(x)=ddxln(1+x)=11+x
Queremos expandir 1/(1+x) em série de potências válida para |x|<1.

Passo 3

Recordando a série geométrica, para |x|<1 vale
11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n
Isso decorre de
11-(-x)=sumn=0^infty(-x)^n

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a x para recuperar ln(1+x):
ln(1+x)-ln(1+0) =integral0^x11+t,dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^n,dt
Como ln(1+0)=0, fica
ln(1+x) =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^n,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^n+1n+1
Bastando reindexar k=n+1, obtemos
ln(1+x) =sumk=1^infty(-1)^k-1x^kk

Passo 5

Verificamos assim a fórmula pedida e notamos que a série converge para |x|<1 (raio de convergência igual a 1).

Resposta

boxedln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn, |x|<1

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