Verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em torno de
, a função
pode ser escrita como série de potências
O conteúdo aqui é o desenvolvimento em série de Taylor (ou Maclaurin) de
. Vamos usar que a derivada de
é
e que esta admite expansão em série geométrica para
.
Passo 2
Calculemos a derivada de
. Temos
Queremos expandir
em série de potências válida para
.
Passo 3
Recordando a série geométrica, para
vale
Isso decorre de
Passo 4
Integramos termo a termo de
a
para recuperar
:
Como
, fica
Bastando reindexar
, obtemos
Passo 5
Verificamos assim a fórmula pedida e notamos que a série converge para
(raio de convergência igual a 1).