Determine a série de Taylor da seguinte função, em torno do ponto dado:
f(x)=cos (x), x0=pi4

Passo 1

Estamos querendo a série de Taylor de cos(x) em torno de
x0 = pi4
Ou seja, usar a fórmula
cos(x) = sumn=0^inftyf^(n)l(pi4r)n!,(x-tfracpi4)^n,
onde f^(n) é a n-ésima derivada de f(x)=cos(x).

Passo 2

Primeiro determinamos a forma geral de f^(n)(x). Sabemos que as derivadas de cos se repetem a cada 4 passos:
f(x)=cos(x), f'(x)=-sin(x), f''(x)=-cos(x), f'''(x)=sin(x), f^(4)(x)=cos(x),
logo
f^(n)(x)=cosl(x + tfracnpi2r)

Passo 3

Agora avaliamos em x=tfracpi4:
f^(n)l(tfracpi4r) =cos!l(tfracpi4 + tfracnpi2r)
Usando cos(tfracpi4)=sin(tfracpi4)=tfracraiz22 e o ciclo de período 2pi, obtemos para n par e ímpar:
  • Se n=2k, então f^(2k)l(tfracpi4r) =cos!l(tfracpi4 + kpir) =(-1)^k,raiz22
  • Se n=2k+1, então f^(2k+1)l(tfracpi4r) =cos!l(tfracpi4 + kpi + tfracpi2r) =-;(-1)^k,raiz22

Passo 4

Substituindo na série de Taylor:
cos(x) =sumn=0^inftyf^(n)(tfracpi4)n!(x-tfracpi4)^n =sumk=0^inftyf^(2k)(tfracpi4)(2k)!(x-tfracpi4)^2k +sumk=0^inftyf^(2k+1)(tfracpi4)(2k+1)!(x-tfracpi4)^2k+1
Usando os valores de f^(2k) e f^(2k+1):
cos(x) =sumk=0^infty(-1)^ktfracraiz22(2k)!(x-tfracpi4)^2k +sumk=0^inftyl[-(-1)^ktfracraiz22r](x-tfracpi4)^2k+1(2k+1)!
Agrupando e tirando tfracraiz22 em evidência:
cos(x) =raiz22sumk=0^infty(-1)^k(x-tfracpi4)^2k(2k)! ;-;raiz22sumk=0^infty(-1)^k(x-tfracpi4)^2k+1(2k+1)!

Passo 5

Podemos juntar as duas somas em uma única expressão:
cos(x) =raiz22sumk=0^infty(-1)^kl[ (x-tfracpi4)^2k(2k)! -(x-tfracpi4)^2k+1(2k+1)! r]

Resposta

boxed cos(x) =raiz22sumk=0^infty(-1)^kl[ (x-tfracpi4)^2k(2k)! -(x-tfracpi4)^2k+1(2k+1)! r]

Exercícios relacionados