Determine a série de Taylor da seguinte função, em torno do ponto x0 dado:
f(x)=sen(x), x0=pi6

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de sin x em torno de x0 = pi/6. Como sin x é infinitamente diferenciável, podemos usar a fórmula
sin x = sumn=0^infty sin^(n)(pi/6)n!,(x-pi/6)^n

Passo 2

Vamos achar o padrão das derivadas de sin x. Em geral,
sin^(n)x = sin x, & nequiv 0pmod 4, cos x, & nequiv 1pmod 4, -sin x, & nequiv 2pmod 4, -cos x, & nequiv 3pmod 4

Passo 3

Avaliamo-as em x=pi/6:
sin(pi/6)=tfrac12, cos(pi/6)=tfracraiz32,
sin''(pi/6)=-sin(pi/6)=-tfrac12, sin'''(pi/6)=-cos(pi/6)=-tfracraiz32

Passo 4

Substituindo na série e escrevendo os primeiros termos, temos:
sin x = 12 + raiz32,(x-tfracpi6) - 12,(x-tfracpi6)^22! - raiz32,(x-tfracpi6)^33! + 12,(x-tfracpi6)^44! + cdots

Passo 5

Em forma de soma agrupando o período 4, a série fica
sin x = sumk=0^infty gl[ 12,(x-tfracpi6)^4k(4k)! + raiz32,(x-tfracpi6)^4k+1(4k+1)! - 12,(x-tfracpi6)^4k+2(4k+2)! - raiz32,(x-tfracpi6)^4k+3(4k+3)! gr]

Resposta

sin x = 12 + raiz32(x-tfracpi6) - 12,(x-tfracpi6)^22! - raiz32,(x-tfracpi6)^33! + 12,(x-tfracpi6)^44! + cdots
ou sin x = sumk=0^infty l[ tfrac12,tfrac(x-tfracpi6)^4k(4k)! + tfracraiz32,tfrac(x-tfracpi6)^4k+1(4k+1)! - tfrac12,tfrac(x-tfracpi6)^4k+2(4k+2)! - tfracraiz32,tfrac(x-tfracpi6)^4k+3(4k+3)! r]

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