Verifique que:
cosh (x)=sumn=0^infty x^2 n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos que a função hiperbólica cosh(x) coincide com a série de potências
sumn=0^inftyx^2n(2n)!
Para isso, vamos usar a definição
cosh(x)=tfrace^x+e^-x2
e as séries de Maclaurin de e^x e e^-x.

Passo 2

Lembrando a série de Maclaurin de e^x, temos
e^x = sumn=0^inftyx^nn!,
e, substituindo xmapsto -x,
e^-x = sumn=0^infty(-1)^nx^nn!

Passo 3

Somando as duas séries:
e^x + e^-x = sumn=0^inftyx^nn! ;+;sumn=0^infty(-1)^nx^nn! = sumn=0^inftyl(1+(-1)^nr)x^nn!
Note que 1+(-1)^n=0 quando n é ímpar e =2 quando n=2k. Logo,
e^x + e^-x = sumk=0^infty2,x^2k(2k)!

Passo 4

Como por definição
cosh(x)=e^x+e^-x2,
dividindo a expressão anterior por 2 obtemos
cosh(x) = sumk=0^inftyx^2k(2k)!

Resposta

cosh(x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)!

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