Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere log (|y|) quando for o caso.
(1+e^x) y y^prime=e^x ; y(0)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta o P.V.I.
(1+e^x),y,dydx=e^x, y(0)=1,
e pede solução usando separação de variáveis. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem separável. Para resolver, vamos rearranjar em forma g(y),dy=h(x),dx, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma separável, dividimos por (1+e^x) e por y (note que yneq0 pois a solução constante y=0 não satisfaz o P.V.I.):
y,dydx=e^x1+e^x
Agora colocamos os y junto de dy e os termos em x junto de dx:
y,dy=e^x1+e^x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy=integral e^x1+e^x,dx
No lado esquerdo,
integral y,dy=y^22
No direito, fazemos u=1+e^x, du=e^xdx, logo
integral e^x1+e^x,dx =integral duu =lnl|ur|+C =lnl(1+e^xr)+C
Então, após integração,
y^22=lnl(1+e^xr)+C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0 temos
1^22=12 =lnl(1+e^0r)+C =ln(2)+C,
logo
C=12-ln(2)

Passo 5

Substituindo C e isolando y^2,
y^22 =lnl(1+e^xr)+12-ln(2) ;Longrightarrow; y^2 =2lnl(1+e^xr)-2ln(2)+1 =2ln!l(1+e^x2r)+1
Como y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo na raiz.

Resposta

y(x) =raiz,1+2ln!l(1+e^x2r),

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