Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere log (|y|) quando for o caso.
e^t+y y^prime=e^2 t-y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e^t+y,y' = e^2t - y,
onde y'=dfracdydt. O método a aplicar é separação de variáveis: vamos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro, integrar ambos os lados e depois isolar y.

Passo 2

Primeiro reescrevemos y' e fazemos a separação. Temos
e^t+y,dydt = e^2t - y Longrightarrow dydt = e^2t - y - (t+y) = e^t - 2y
Multiplicando ambos os lados por e^2y,dt, obtemos
e^2y,dy = e^t,dt

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral e^2y,dy = integral e^t,dt
No lado esquerdo, use substituição simples ou reconheça que
integral e^2y,dy = 12,e^2y
No lado direito,
integral e^t,dt = e^t
Assim, após a integração, fica
12,e^2y = e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos por 2 e renomeamos a constante:
e^2y = 2e^t + C1
Para isolar y, aplicamos logaritmo natural (lembrando que o argumento deve ser positivo, então exigimos 2e^t+C1>0):
2y = lnl(2e^t + C1r) Longrightarrow y(t) = 12,lnl(2e^t + C1r)

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = 12,lnl(2e^t + C1r),
com C1 constante arbitrária tal que 2e^t+C1>0.

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