Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
quando for o caso.
.
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
onde
. O método a aplicar é separação de variáveis: vamos escrever todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro, integrar ambos os lados e depois isolar
.
Passo 2
Primeiro reescrevemos
e fazemos a separação. Temos
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 3
Agora integramos cada lado:
No lado esquerdo, use substituição simples ou reconheça que
No lado direito,
Assim, após a integração, fica
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Multiplicamos por 2 e renomeamos a constante:
Para isolar
, aplicamos logaritmo natural (lembrando que o argumento deve ser positivo, então exigimos
):
Resposta
A solução geral da equação é
com
constante arbitrária tal que
.