Usando integrais duplas, determine o volume do sólido que está sob o paraboloide
, acima do plano
e dentro do cilindro
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $, acima do plano $ xy $ e dentro do cilindro $ (x-1)^{2} + y^{2} = 1 $. Para isso, vamos usar integrais duplas, que são uma ferramenta poderosa para calcular volumes em regiões definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O cilindro $ (x-1)^{2} + y^{2} = 1 $ é um círculo com raio 1, mas deslocado 1 unidade para a direita no eixo $ x $. Isso significa que o centro desse círculo está em $ (1, 0) $. Vamos mudar de coordenadas para simplificar a região de integração: vamos definir $ u = x - 1 $ e $ v = y $. Assim, a equação do cilindro fica $ u^{2} + v^{2} = 1 $, que é um círculo padrão de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função do paraboloide na nova coordenada. Como $ x = u + 1 $ e $ y = v $, temos:
Isso vai nos ajudar a expressar a função que vamos integrar.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração é um círculo. Em coordenadas polares, $ u = r \cos \theta $ e $ v = r \sin \theta $, onde $ r $ vai de 0 a 1 e $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $. A área infinitesimal em coordenadas polares é $ r , dr , d\theta $.
Passo 5
Vamos substituir na função $ z $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla para o volume:
Multiplicando $ r $ dentro da integral:
Passo 7
Vamos integrar em $ r $ primeiro:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos em $ \theta $:
Note que a integral de $ \cos \theta $ de 0 a $ 2\pi $ é zero.
Resposta
$ V = \dfrac{2\pi}{3} $