Usando integrais duplas, determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z=x^2+y^2, acima do plano x y e dentro do cilindro (x-1)^2+y^2=1. Resp.: 2 pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $, acima do plano $ xy $ e dentro do cilindro $ (x-1)^{2} + y^{2} = 1 $. Para isso, vamos usar integrais duplas, que são uma ferramenta poderosa para calcular volumes em regiões definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O cilindro $ (x-1)^{2} + y^{2} = 1 $ é um círculo com raio 1, mas deslocado 1 unidade para a direita no eixo $ x $. Isso significa que o centro desse círculo está em $ (1, 0) $. Vamos mudar de coordenadas para simplificar a região de integração: vamos definir $ u = x - 1 $ e $ v = y $. Assim, a equação do cilindro fica $ u^{2} + v^{2} = 1 $, que é um círculo padrão de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função do paraboloide na nova coordenada. Como $ x = u + 1 $ e $ y = v $, temos:
x = u + 1
Isso vai nos ajudar a expressar a função que vamos integrar.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração é um círculo. Em coordenadas polares, $ u = r \cos \theta $ e $ v = r \sin \theta $, onde $ r $ vai de 0 a 1 e $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $. A área infinitesimal em coordenadas polares é $ r , dr , d\theta $.

Passo 5

Vamos substituir na função $ z $:
z
Simplificando:
z = (r cos theta)^2 + 2(r cos theta) + 1 + (r sin theta)^2 = r^2 cos^2 theta + 2r cos theta + 1 + r^2 sin^2 theta

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla para o volume:
V = integral0^2pi integral0^1 (r^2 + 2r cos theta + 1) r , dr , dtheta
Multiplicando $ r $ dentro da integral:
r

Passo 7

Vamos integrar em $ r $ primeiro:
r
Então, a integral fica:
integral0^1 r^3 , dr = 14, integral0^1 2r^2 cos theta , dr = 23 cos theta, integral0^1 r , dr = 12
Simplificando:
V = integral0^2pi ( 14 + 23 cos theta + 12 ) dtheta = integral0^2pi ( 312 + 812 cos theta + 612 ) dtheta = integral0^2pi ( 912 + 812 cos theta ) dtheta

Passo 8

Agora, integramos em $ \theta $:
theta
Note que a integral de $ \cos \theta $ de 0 a $ 2\pi $ é zero.

Resposta

$ V = \dfrac{2\pi}{3} $

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