Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer a gente verificar se a série
atende às condições do teste das séries alternadas e, depois, dizer se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série alternada e quais são as condições desse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da série. Uma série alternada tem a forma
, onde
é uma sequência positiva. No nosso caso, o termo geral é
. Então, podemos ver que
. Para aplicar o teste das séries alternadas, precisamos verificar duas coisas: se
é sempre positivo e se a sequência
é decrescente.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
. Observando
, percebemos que para todo
, temos:
-
é positivo, -
significa , que também é positivo.
Portanto,
é sempre positivo.
Passo 4
Agora, vamos ver se a sequência
é decrescente, ou seja, se cada termo é menor ou igual ao anterior. Para isso, vamos comparar
com
:
Como
para todo
, isso significa que
. Assim, a sequência
é decrescente.
Resposta
A série
satisfaz as condições do teste das séries alternadas (os termos são positivos e decrescentes). Portanto, a série converge.