Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
2 sumn=1^infty(-1)^n-1 n 5^-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer a gente verificar se a série atende às condições do teste das séries alternadas e, depois, dizer se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série alternada e quais são as condições desse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da série. Uma série alternada tem a forma , onde é uma sequência positiva. No nosso caso, o termo geral é . Então, podemos ver que . Para aplicar o teste das séries alternadas, precisamos verificar duas coisas: se é sempre positivo e se a sequência é decrescente.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: . Observando , percebemos que para todo , temos:
  • é positivo,
  • significa , que também é positivo.
Portanto, é sempre positivo.

Passo 4

Agora, vamos ver se a sequência bn+1bn = 2 (n+1) 5^-(n+1)2 n 5^-n = (n+1)n times 15 = (1 + 1n) times 15 é decrescente, ou seja, se cada termo é menor ou igual ao anterior. Para isso, vamos comparar com :
Como para todo , isso significa que . Assim, a sequência é decrescente.

Resposta

A série satisfaz as condições do teste das séries alternadas (os termos são positivos e decrescentes). Portanto, a série converge.

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