Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n);

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyn^22cdot 4cdot 6cdotldotscdot(2n)
converge ou diverge.
O conteúdo-chave aqui é reconhecer que o produto dos primeiros n números pares vale
prodk=1^n(2k)=2^nn!
e, em seguida, usar o Teste da Razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral usando
prodk=1^n(2k)=2^nn!,
Então
n^22cdot 4cdot 6cdotldotscdot(2n)=n^22^nn!,

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão. Chamando
an=n^22^nn!,
vemos que
an+1an =(n+1)^22^,n+1(n+1)! n^22^nn! =(n+1)^22^,n+1(n+1),n!cdot2^nn!n^2 =n+12,n^2

Passo 4

Agora tomamos o limite da razão quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an =limntoinftyn+12,n^2 =limntoinfty12,n+12,n^2 =0
Como esse limite é menor que 1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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