Suponhamos que o raio de convergência da série de potências
seja
. Qual é o raio de convergência da série de potências
?
Passo 1
O enunciado dá uma série de potências
com raio de convergência
e pergunta pelo raio de convergência da série
Para resolver, podemos usar o argumento de substituição
ou aplicar diretamente o critério de Cauchy–Hadamard.
Passo 2
Fazendo a troca de variável
, a série fica
Sabemos que esta última converge se, e somente se,
. Voltando a
, isso significa
Logo, o novo raio de convergência é
.
Passo 3
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard temos
Na série
e o raio .