Suponhamos que o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty an x^n seja R>0. Qual é o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty an x^2 n ?

Passo 1

O enunciado dá uma série de potências
sumn=0^inftyanx^n
com raio de convergência R>0 e pergunta pelo raio de convergência da série
sumn=0^inftyanx^2n
Para resolver, podemos usar o argumento de substituição y=x^2 ou aplicar diretamente o critério de Cauchy–Hadamard.

Passo 2

Fazendo a troca de variável y=x^2, a série fica
sumn=0^inftyan(x^2)^n ;=;sumn=0^inftyany^n
Sabemos que esta última converge se, e somente se, |y|<R. Voltando a x, isso significa
|x|^2< R Longrightarrow |x|<raizR
Logo, o novo raio de convergência é raizR.

Passo 3

Pela fórmula de Cauchy–Hadamard temos
Na série
e o raio .

Resposta

raizR

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