Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações
a1=1 e an+1=2+cos nraizn an
Determine se sumn=1^infty an converge ou diverge.

Passo 1

Estamos com a série
sumn=1^inftyan,
onde a1=1 e a sequência é dada recursivamente por
an+1=2+cos nraizn;an
O objetivo é testar convergência ou divergência usando um critério de séries (por exemplo, o critério da razão).

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos, que é exatamente o fator de recorrência:
an+1an =2+cos nraizn
Para usar o critério da razão, precisamos verificar o comportamento desse quociente quando ntoinfty.

Passo 3

Observe que -1<=cos n<=1, de modo que
0<= 2+cos n<=3 Longrightarrow 0<=an+1an<=3raizn
Como limntoinfty3/raizn=0<1, existe N tal que, para todo n>= N,
an+1an<q
com algum q<1. Logo a partir de N a sequência de termos decresce geometricamente.

Passo 4

A partir de n=N temos
an<= aN,q^,n-N,
ou seja, o restante da série está dominado por uma série geométrica de razão q<1, que é convergente. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyan converge.

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