Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações
Determine se
converge ou diverge.
Passo 1
Estamos com a série
onde
e a sequência é dada recursivamente por
O objetivo é testar convergência ou divergência usando um critério de séries (por exemplo, o critério da razão).
Passo 2
Calculemos a razão entre termos consecutivos, que é exatamente o fator de recorrência:
Para usar o critério da razão, precisamos verificar o comportamento desse quociente quando
.
Passo 3
Observe que
, de modo que
Como
, existe
tal que, para todo
,
com algum
. Logo a partir de
a sequência de termos decresce geometricamente.
Passo 4
A partir de
temos
ou seja, o restante da série está dominado por uma série geométrica de razão
, que é convergente. Portanto a série original converge absolutamente.
Resposta
A série
converge.