Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{3^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{3^{n+1}}
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar a soma. Informações dadas:
  • A expressão do termo geral é \dfrac{7}{3^{n+1}} para n=0,1,2,\dots.
  • Os primeiros termos (calculados com n=0,1,2) são:
    • Para n=0: \dfrac{7}{3^{0+1}}=\dfrac{7}{3}.
    • Para n=1: \dfrac{7}{3^{2}}=\dfrac{7}{9}.
    • Para n=2: \dfrac{7}{3^{3}}=\dfrac{7}{27}.
      O objetivo final: dizer convergência/divergência e, se converge, fornecer a soma numérica.

Passo 2

Reconhecendo o tipo de série (escolha do método).
  • Observando os termos listados, cada termo é obtido multiplicando o anterior por \dfrac{1}{3}. Por exemplo, \frac{7}{9} \div \frac{7}{3} = \frac{1}{3},\qquad \frac{7}{27}\div\frac{7}{9}=\frac{1}{3}.
  • Isso mostra que os termos formam uma progressão geométrica, ou seja, a série é uma série geométrica infinita. Vou usar a regra padrão para séries geométricas.
Breve aula sobre séries geométricas (fórmula e hipótese):
  • Uma série geométrica típica tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão comum.
  • Critério de convergência: a série converge se, e somente se, |r|<1.
  • Soma quando converge: se |r|<1, a soma é \frac{a}{1-r}.
  • Justificativa rápida (derivação da fórmula): os somatórios parciais são S_N = a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N} = a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0, logo \lim_{N\to\infty} S_N = \dfrac{a}{1-r}.

Passo 3

Colocando a série dada na forma padrão.
  • A série original pode ser escrita como \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{3^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} 7\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}.
  • Factorizando \left(\dfrac{1}{3}\right)^{1} fora da soma: \sum_{n=0}^{\infty} 7\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} = 7\left(\frac{1}{3}\right)\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
  • Assim, na forma \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} temos: a=\frac{7}{3}\quad\text{e}\quad r=\frac{1}{3}.

Passo 4

Teste de convergência e cálculo da soma.
  • Verifico o critério: |r|=\left|\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}<1. Logo, a série converge.
  • Como converge, uso a fórmula da soma: S=\frac{a}{1-r}=\frac{\dfrac{7}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}.
  • Calculo passo a passo: 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
\frac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.
  • Opcional (para intuição): em decimal \dfrac{7}{2}=3,5.

Passo 5

Interpretação final e incentivo.
  • Concluímos que a série converge porque é geométrica com razão de módulo menor que 1.
  • A soma é \dfrac{7}{2}. Muito bem — mesmo com pouco tempo, reconhecer padrões (aqui: razão constante) resolve rápido. Continua firme: identificar séries geométricas é uma das primeiras habilidades que salvam na prova!

Resposta

A série converge e sua soma é \dfrac{7}{2}.

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