Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{2 n+3}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} a_n,\quad a_n = \frac{\sqrt{2n+3}}{n^{2}+1}.
O conteúdo aqui é teste de comparação assintótica de séries (p-série) para verificar convergência absoluta ou condicional.

Passo 2

Para n grande, podemos aproximar o termo geral pela expansão dominante:
a_n = \frac{\sqrt{2n+3}}{n^{2}+1} \sim \frac{\sqrt{2n}}{n^{2}} = \sqrt{2}\,\frac{n^{1/2}}{n^{2}} = \sqrt{2}\,n^{-3/2}.
Logo a_n tem comportamento assintótico equivalente a n^{-3/2}.

Passo 3

Escolhemos a série de comparação
b_n = \frac{1}{n^{3/2}},
cuja convergência é conhecida: sendo p=\tfrac32>1, a série \sum b_n converge (p-série convergente).

Passo 4

Aplicamos o teste da comparação limite:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n+3}/(n^2+1)}{1/n^{3/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n+3}\,n^{3/2}}{n^2+1}.
Para n\to\infty,
\sqrt{2n+3}\,n^{3/2} \sim \sqrt{2n}\,n^{3/2} = \sqrt{2}\,n^2, \quad n^2+1\sim n^2,
portanto
L = \frac{\sqrt{2}\,n^2}{n^2} = \sqrt{2} \quad (>0,\;<\infty).

Passo 5

Como 0< L<\infty e \sum b_n converge, pelo teste da comparação limítrofe concluímos que
\sum_{n=0}^{\infty} a_n
também converge.

Passo 6

Os termos a_n são todos não negativos, então a convergência da série original é também convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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