Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é teste de comparação assintótica de séries (p-série) para verificar convergência absoluta ou condicional.
Passo 2
Para
grande, podemos aproximar o termo geral pela expansão dominante:
Logo
tem comportamento assintótico equivalente a
.
Passo 3
Escolhemos a série de comparação
cuja convergência é conhecida: sendo
, a série
converge (p-série convergente).
Passo 4
Aplicamos o teste da comparação limite:
Para
,
portanto
Passo 5
Como
e
converge, pelo teste da comparação limítrofe concluímos que
também converge.
Passo 6
Os termos
são todos não negativos, então a convergência da série original é também convergência absoluta.
Resposta
A série converge absolutamente.