Mostre que se (a, b)=1 então (a+b, a-b)=1 ou 2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (a,b)=1, então o máximo divisor comum de a+b e a-b é ou 1 ou 2. Vamos usar propriedades de divisor comum e combinações lineares.

Passo 2

Defina
d = (\,a+b,\;a-b\,).
Por definição, isso significa que d divide tanto a+b quanto a-b.

Passo 3

Como d\mid(a+b) e d\mid(a-b), ele também divide qualquer combinação linear inteira desses números. Em particular,
d \mid \bigl((a+b)+(a-b)\bigr)=2a \quad\text{e}\quad d \mid \bigl((a+b)-(a-b)\bigr)=2b.
Logo,
d \mid 2a \quad\text{e}\quad d \mid 2b.

Passo 4

Se d divide 2a e 2b, então
d \mid (\,2a,\;2b\,).
Mas (\,2a,\;2b\,)=2\,(a,b)=2\cdot1=2 porque (a,b)=1. Portanto d divide 2, o que implica
d=1\quad\text{ou}\quad d=2.

Resposta

(a+b,\;a-b)=1 ou 2.

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