Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n(\ln (n))^{\frac{1}{3}}\right.}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{\frac{1}{3}}}
Isso é conteúdo de testes de convergência para séries de termos positivos; como o termo geral é algo como 1/[n(\ln n)^{1/3}], um caminho natural é usar o teste da integral.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{\frac{1}{3}}},\quad x\ge2.
Note que f(x)>0 e, para x\ge2, \ln x cresce e faz f(x) decrescer. Pelo teste da integral, a série converge ou diverge conforme o comportamento da integral impropriada
\int_{2}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{\frac{1}{3}}}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Fazemos a substituição t=\ln x, de modo que \mathrm{d}t=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x. Quando x=2, t=\ln2; e quando x\to\infty, t\to\infty. A integral vira
\int_{\ln2}^{\infty} t^{-\frac{1}{3}}\,\mathrm{d}t.
Essa é uma integral de uma potência t^{-1/3}. Como
\int t^{-\frac{1}{3}}\,\mathrm{d}t =\frac{t^{\frac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} =\frac{3}{2}\,t^{\frac{2}{3}},
ao avaliar de \ln2 até \infty o termo t^{2/3} diverge quando t\to\infty. Logo a integral original é infinita.

Passo 4

Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{\frac{1}{3}}}
também diverge. Não há convergência, portanto não faz sentido falar em convergência absoluta ou condicional.

Resposta

A série diverge.

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