Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
Isso é conteúdo de testes de convergência para séries de termos positivos; como o termo geral é algo como
, um caminho natural é usar o teste da integral.
Passo 2
Definimos a função
Note que
e, para
,
cresce e faz
decrescer. Pelo teste da integral, a série converge ou diverge conforme o comportamento da integral impropriada
Passo 3
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; e quando
,
. A integral vira
Essa é uma integral de uma potência
. Como
ao avaliar de
até
o termo
diverge quando
. Logo a integral original é infinita.
Passo 4
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
também diverge. Não há convergência, portanto não faz sentido falar em convergência absoluta ou condicional.
Resposta
A série diverge.