Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o teste da integral para decidir se ela converge. Em seguida, veremos se a convergência é absoluta ou condicional.

Passo 2

Verificamos que os termos
a_n = \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
são positivos e monótonos decrescentes para n\ge2. Assim, podemos aplicar o teste da integral considerando a função
f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^{2}}
definida em [2,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{2}} \, dx.
Fazendo a substituição u = \ln x, temos du = \frac{1}{x}dx e, quando x=2, u=\ln 2; quando x\to\infty, u\to\infty. A integral torna-se
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^{2}} \, du.
Sabemos que
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-2}\,du = \left[-\,u^{-1}\right]_{\ln 2}^{\infty} = 0 - \bigl(-\tfrac{1}{\ln 2}\bigr) = \frac{1}{\ln 2},
que é finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{2}} \, dx < \infty,
seguimos que a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge.

Passo 5

Como todos os termos a_n são positivos, a convergência da série implica imediatamente convergência absoluta. Não há possibilidade de convergência condicional quando os termos são não-negativos.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge e, como todos os termos são positivos, converge absolutamente.

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