Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o teste da integral para decidir se ela converge. Em seguida, veremos se a convergência é absoluta ou condicional.
Passo 2
Verificamos que os termos
são positivos e monótonos decrescentes para
. Assim, podemos aplicar o teste da integral considerando a função
definida em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, temos
e, quando
,
; quando
,
. A integral torna-se
Sabemos que
que é finito.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
seguimos que a série
converge.
Passo 5
Como todos os termos
são positivos, a convergência da série implica imediatamente convergência absoluta. Não há possibilidade de convergência condicional quando os termos são não-negativos.
Resposta
A série
converge e, como todos os termos são positivos, converge absolutamente.