Mostre que se
é um número primo maior ou igual a 7 , então
é da forma
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é primo e
, então obrigatoriamente
para algum inteiro
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divisão (ou Algoritmo da Divisão) e argumentos de divisibilidade por
e por
.
Passo 2
Pela divisão euclidiana, todo inteiro
pode ser escrito como
onde
é inteiro e o resto
satisfaz
. Logo
Passo 3
Analisamos cada caso de resto
:
- Se
, então é par. Um primo par só pode ser , mas aqui , logo impossibilidade. - Se
, então ou seja, é divisível por e maior que , o que contradiz a primalidade. - Restam apenas
ou , pois nos outros valores deixaria de ser primo.
Passo 4
Como os únicos restos viáveis na divisão de um primo
por
são
ou
, concluímos que
Resposta
Qualquer primo
é da forma
ou
.