Mostre que se p é um número primo maior ou igual a 7 , então p é da forma 6 k+1 ou 6 k+5.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se p é primo e p\ge7, então obrigatoriamente
p=6k+1\quad\text{ou}\quad p=6k+5
para algum inteiro k. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divisão (ou Algoritmo da Divisão) e argumentos de divisibilidade por 2 e por 3.

Passo 2

Pela divisão euclidiana, todo inteiro p pode ser escrito como
p = 6k + r,
onde k é inteiro e o resto r satisfaz 0 \le r \le 5. Logo
r\in\{0,1,2,3,4,5\}.

Passo 3

Analisamos cada caso de resto r:
  • Se r\in\{0,2,4\}, então p=6k+r é par. Um primo par só pode ser 2, mas aqui p\ge7, logo impossibilidade.
  • Se r=3, então p = 6k+3 = 3\,(2k+1),ou seja, p é divisível por 3 e maior que 3, o que contradiz a primalidade.
  • Restam apenas r=1 ou r=5, pois nos outros valores p deixaria de ser primo.

Passo 4

Como os únicos restos viáveis na divisão de um primo p\ge7 por 6 são 1 ou 5, concluímos que
p = 6k + 1 \quad\text{ou}\quad p = 6k + 5.

Resposta

Qualquer primo p\ge7 é da forma 6k+1 ou 6k+5.

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